Taller de Matemáticas:
De Arquímedes a Cavalieri
hacia el cálculo integral
UR, 8 de Abril de 2011

Primera parte

• Bienvenidos

  
  Bienvenidos a nuestro viaje en el tiempo (desde el año 250 a. C.) hasta el año 2011 y en el espacio, de Siracusa a Logroño pasando por Milán y Bolonia
  
  
  

• Arquímedes, el genio

  • Todo comenzó aquí

    
    

    • Sabemos que Arquímedes nació en Siracusa:
      
      

  • Vida y leyendas

    Una excelente fuente de información sobre la vida y obra de Arquímedes lo constituyen los libros:
    
    
    "Tratados I. Comentarios. Arquímedes . Eutocio de Ascalón"
    333.Biblioteca Clásica Gredos
    
    "Tratados II. Arquímedes"
    333.Biblioteca Clásica Gredos
    
    
    
    

    Está documentado que su muerte se produjo cuando los romanos, al mando de Marco Marcelo, tomaron la ciudad de Siracusa en el año 212 a. C.

    Si bien no hay constancia segura de su nacimiento, algunos documentos de la época bizantina afirmaban que Arquímedes murió a los 75 años. Por ello, teniendo en cuenta la fecha de su muerte, se suele datar su nacimiento en el año 287 a. C.

    Escritos atribuidos a Arquímedes nos hablan de su padre, Fidias, astrónomo. "De casta le viene al galgo".

    También tenemos la seguridad, por sus propias obras, que mantuvo relación epistolar con importantes científicos de la época que vivían en Alejandría. En estos momentos Alejandría era centro del mundo científico y su famosa Biblioteca se encontraba en pleno apogeo.
    - Eratóstenes, fue director de la Biblioteca desde el 230 a. C (?) hasta el 195 a. C. A él le envió Arquímedes alguno de sus trabajos, concretamente "El Método" y, antes, algún otro escrito con enunciados y sin demostraciones. A Eratóstenes no parece concerle personalmente pero le admira por su fama como gran estudioso, filósofo y matemático.
    - Varios de los trabajos de Arquímedes son enviados a Conón y, parece ser que, tras la muerte de éste, y habiendo oído hablar de un tal Dosíteo, le remite a él otros escritos.
    Es muy posible que, en su juventud, hiciera una visita a Alejandría y, tal vez, allí conociese a Conón. También es posible que allí hiciese uno de sus grandes inventos, "El tornillo de Arquímedes"

    Podría ser, según cuenta Plutarco(historiador Griego del 50 a 120 d. C.), que tuviese alguna relación de parentesco con el Tirano de Siracusa, Hieron.

    Entre Arquímedes e Hierón surgen algunas de las anécdotas, leyendas o, tal vez, historias más conocidas de éste insigne personaje:
    - Las leyes de la palanca y las poleas. Se cuenta que Arquímedes sacó del agua una navío usando sólo poleas ante la petición de Hierón de una demostración de sus afirmaciones.
    - El famoso "Teorema de Arquímedes" sobre el volumen de los cuerpos.
    El grito de ¡Eureka! saliendo desnudo de la bañera al descubrir cómo determinar si una corona era de oro puro o tenía mezcla.
    - Su ingenio para los artilugios mecánicos pudo hacer que, una simple y pequeña ciudad como Siracusa, se defendiera con éxito ante los primeros envites romanos. Con toda probabilidad, construyo catapultas, mecanismos y, tal vez como parte de la leyenda, se afirma que quemó navíos romanos utilizando varios espejos situados a lo largo de la costa y apuntándolos hacia ellos.

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  • Arquímedes y las Matemáticas

    Pero, si bien la mayor parte de la información y las leyendas sobre Arquímedes hace alusión a su faceta de inventor o ingeniero, lo que nos interesa en este taller es el genio de Arquímedes como Geométra y Matemático.

    El propio Plutarco afirma también que, las tareas de ese tipo no pasaban de meros entretenimientos sobre los que nada escribió. Lo que realmente le interesaba era la Matemática y la Geometría y de ello nos quedan bastantes testimonios escritos.

    Tanto es así, que este aspecto ha sido hasta novelado ...

    
    —Medión —dijo, respirando con dificultad—, júrame que nunca, jamás, abandonarás las matemáticas.
    Arquímedes lo miró, sorprendido.
    —¡Padre, sabes que abandonar las matemáticas es lo último que deseo en el mundo!
    —No, lo último que deseas en el mundo es que tu familia se muera de hambre o sufra... y eso está bien, eso debería ser lo último que permitieses. Pero prométeme que por más cansado que estés cuando hayas acabado tu jornada laboral, por más duro que te resulte encontrar tiempo para seguir aprendiendo, por más que nadie te entienda, nunca las abandonarás y te entregarás a ellas en cuerpo y alma. Júramelo.
    Arquímedes dudó, luego se acercó a la jofaina con agua que había junto a la cama, se lavó las manos ceremoniosamente y las levantó hacia el cielo.
    —Juro por Apolo délico y por Apolo pitio —declaró en tono solemne—, por Urania y todas las musas, por Zeus, la Tierra y el Sol, por Afrodita, Hefesto y Dionisos, y por todos los dioses y las diosas, que nunca abandonaré las matemáticas ni permitiré que la chispa que los dioses han prendido en mí se apague. Si no mantengo mi compromiso, que todos los dioses y diosas por los que he jurado se enfurezcan conmigo y muera de una muerte miserable; y que si lo cumplo, me sean favorables.
    —Que así sea —musitó el anciano.
    Arquímedes se acercó de nuevo a la cama, tomó la mano de Fidias y le sonrió.
    —Pero no necesitaba jurarlo, padre —dijo—, pues, por más que intento dejarlo, por más que me digo a mí mismo: «Se acabaron los juegos», nunca funciona. No puedo dejarlo. Y tú lo sabes.
    Fidias le devolvió la sonrisa.
    —Lo sé —susurró—, pero no quiero que lo intentes siquiera. Ni por catapultas ni por nada.

    El contador de Arena - Gillian Bradshaw -

    • La maravilla del Cálculo (diferencial e integral) ya había sido esbozada por Arquímedes

      El cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza que hayan desarrollado jamás los matemáticos. El proceso de gestación y alumbramiento del cálculo infinitesimal fue muy dilatado en el tiempo: desde que la matemática quedó preñada, si se permite el símil, en el siglo III a. C., cuando Arquímedes usó los primeros argumentos infinitesimales para el cálculo de áreas, y hasta que Newton y Leibniz le sirvieron de comadrones, pasaron casi dos mil años. A ellos hubo que añadir siglo y medio más hasta que Cauchy y Weierstrass “domesticaron” los infinitésimos al encontrarles una adecuada explicación lógica.

      La verdad está en el límite. El cálculo infinitesimal. - Antonio J. Durán -

  • La obra de Arquímedes

    Sin que esté clara la cronología, al menos de alguno de ellos, los escritos de Arquímedes que han llegado hasta nosotros son:

    - Sobre la esfera y el ciclindro

    Parece ser que Arquímedes se sentía tan orgulloso de su relación entre el volumen de la esfera y el cilindro que dejó dicho que se hiciese una inscripción en su tumba alusiva a este hecho.
    En este tratado calcula también el valor de la superficie esférica.
    En este taller nosotros, usando el principio de Cavalieri, vamos también a cubar la esfera y, nos efrentaremos a un problema de los que nos hacen dudar de Cavalieri a la hora de intentar calcular el área de la superficie esférica.

    - Sobre la medida del círculo

    En él Arquímedes concluye:
    
    "Todo círculo es como un triángulo rectángulo cuyo radio es igual a uno de los lados que forman el ángulo recto y el perímetro es igual a la base"
    "El perímetro de todo círculo es el triple del diámetro y además excede de él en menos de un séptimo del diámetro pero más de diez setentayunavos"
    Ambas demostaciones se basaba en el principio de exahución y no en la idea del principio de Cavalieri.

    - Sobre conoides y esferoides

    - Sobre las espirales

    - Sobre el equilibrio de las figuras planas (dos tratados)

    - El Arenario

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    El título de este escrito a dado lugar a la novela El contador de arena de que mencionaremos en más de una ocasión en este taller.
    
    En ella se narra la vida de Arquímedes, episodios y leyendas, cuentos y realidades de manera novelada.
     
     

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    - La cuadratura de la parábola

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    Es el primer escrito que envía a Dositeo porque, según afirma, se ha enterado de la muerte de Conón. En él cuadra un segmento parabólico , es decir, calcula el área formada por una recta y el arco de una parábola, por métodos geométricos. Previamente lo había realizado por lo que llama métodos mecánicos pero, el propio Arquímedes pone en duda la vaidez formal de esta demostración.
    Nosotros cuadraremos también un arco de parábola exprimiendo al máximo el principio de Cavalieri hasta el punto de ir más allá de lo que el propio Cavalieri llegó.

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    - Sobre los cuerpos flotantes (dos tratados)

    - El Stomachion

    - El Método

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    El método ha sido la obra perdida de Arquímedes durante muchos siglos. En ella nos da conocer su manera mecánica de llegr a lgunos resultados. El propio Arquímedes considera este método carente del rigor necesario para considerarlo una demostración pero muy válido para obtener resultados que se deberán demostrar de otro modo. Pero curiosamente, en el método, aparece la idea clave del principio de Cavalieri; los indivisibles entendidos como las líneas que componen una figura plana o los planos que componen una figura sólida. Y muy probablemente el uso de los indivisibles sea la causa principal de la falta de rigor como método de demostración del método. En definitiva, el comienzo del uso del cálculo diferencial sinsu formalización clara y precisa.

    En 1906 el filólogo danés Johan Ludvig Heiberg (1854-1928) encontró el palimpsesto de Arquímedes. Cuántos antes que él tuvieron acceso a esa información, es un misterio.

    Hasta el siglo XXI no hemos sido capaces de entender del todo hasta dónde llegó Arquímedes.

    
    [...]
    Los dos principios que los creadores de la ciencia moderna aprendieron de Arquímedes fueron:
    - Las matemáticas infinitesimales.
    - La aplicación de los modelos matemáticos al mundo físico.
    
    Gracias al palimpsesto, ahora sabemos mucho más acerca de estos dos aspectos de la obra de Arquímedes. [...]En 2001, un importantísimo descubrimiento nos hizo ver, por primera vez en la historia, cuánto se había acercado Arquímedes a los conceptos modernos del infinito
    

    El código de Arquímedes - Reviel Netz y William Noel -

    
    
    En este libro se cuenta la apasionante historia de la recuperación de un manuscrito que parecía perdido para la Humanidad.

    En realidad, el palimpsesto no aportó nada nuevo al progreso de la ciencia. Tan sólo permitió replantearse que, quizá, algunas cosas pudieron devenir de otro modo al que habíamos pensado. Pero en cualquier caso, ya habían "devenido"

    
    
    Entre los árboles avistó Serpentine, el lago rectangular que hizo construir la reina Carolina diez años antes del nacimiento de Newton.
    
    La historia es viva y cambiante, no es una imagen anquilosada e inamovible del pasado, tal como parecen creer muchos. El pasado siempre tiene algo nuevo que ofrecer, siempre y cuando se cambie el punto de vista.
    

    La Hermandad invisible - Kurt Aust -

    
    

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Cavalieri y el comienzo de nuestro taller.

• Un salto en el tiempo

  • Durante más de 1600 años el avance hacia lo que más tarde se llamó el cálculo integral y el cálculo diferencial fue un vacío completo.
    

• Cavalieri y su principio

  • Cavalieri y su contexto histórico

    

    Bonaventura Cavalieri nace en Milán en 1598 y muere en Bolonia en 1647

    Fue matemático y monje, discípulo de Galileo. En 1629 fue nombrado profesor de matemáticas en Bolonia.
    

    Su paso a la historia se debe a su teoría de los «indivisibles», que expuso en su Geometría indivisibilibus continuorum quadam nova ratione promota (1635).

    Si bien la mayor parte de las fuentes afirma que fue jesuita, personalmente me decanto más por creer las escasa fuentes que afirman que perteneció a la orden de los jesuatas o jesuatos.

    La orden de los jesuatas o jesuatos fue aprobada por el papa Urbano V en 1367. en principio se trataba de una orden de religiosos legos. En 1606 Paulo V les permitó ordenarse. Sin embargo, en 1668, Clemente IX, suprimió la orden, al parecer, porque sus costumbre y hábitos se habían relajado de manera preocupante.

    Mientras preparaba esta Charla y su Taller asociado me he preguntado muchas cosas alrededor de Cavalieri. Se me han ocurrido muchas elucubraciones para escribir una novela de ficción.

    ¿Hasta qué punto Cavalieri conocía la obra perdida de Arquímedes? Por qué no soñar en un oscuro fraile que encontró una copia desconocida para el mundo de algunos trabajos de Arquímedes.

    ¿Cómo pudo Cavalieri librarse de las garras de la Santa Inquisición que tan bien agarraron a su maestro Galileo Galilei, tocando un tema tan sutil y herético como los indivisibles

    • La Santa Inquisición hacía de las suyas

      - ¿Ha oído vuestra paternidad hablar de los átomos? –preguntó fray Martín Vélez.
      - No.
      - Dicen Demócrito, Anaxágoras y Telesio, y ahora mismo otros muchos, que las cosas están hechas de otras más pequeñas que llaman átomos y que así como se agrupan los tales átomos surgen especies sólidas o líquidas, blandas o duras, blancas o negras, unas madera y otras agua, unas piedra y otras lana.
      Fray Martín Vélez hizo una pausa en este punto con la intención de destacar lo que aún le quedaba por decir y continuó hablando, muy despacio, para asegurar la comprensión de sus palabras:
      - Si la razón entrara a gobernar los asuntos de la fe, si se permitiera cambiar lo que la Biblia dice del Sol y de la Tierra, simplemente porque las matemáticas dicen otra cosa, vendrían luego los filósofos a suscitar que no existe el milagro de la eucaristía, donde se convierte el pan en la carne de Cristo y el vino en la sangre.
      - ¿Por qué?
      - Porque, según empiezan a decir, si las cosas están hechas de átomos y son de un modo y no de otro por causa de esos mismos átomos, al permanecer en el pan y en el vino su color, su olor y su sabor, siguen siendo lo que eran, pan y vino y no cuerpo y sangre de Cristo. Ésa es la herética pravedad que hoy amenaza al mundo.
      - Lutero dice que en la eucaristía, con el cuerpo y la sangre de Cristo hay verdadero pan y verdadero vino, al mismo tiempo…
      - Lo que es enteramente falso. La consagración se hace con las palabras: hoc est corpus Meum. Éste es mi cuerpo. Cristo dijo: éste. Lo que significa que aquel pan no era ya pan. Por milagro, se produce la conversión de toda la sustancia del pan en el cuerpo y de toda la sustancia del vino en la sangre y no queda allí ya ni pan ni vino. No vengan los hombres a decir, por la matemática y la física con las que ahora dicen que el mundo da vueltas, que en tales sustancias no se obra, por milagro, la transubstanciación.

      El matemático del Rey - Juan Carlos Arce -
      (El autor situa la novela en 1621 y 1622 en España)

  • El principio de Cavalieri

    
    Si no lees el fichero, pulsa en este enlace: Texto original del principio de Cavalieri

    • Cuya traducción literal, según una compañera de Latín a la que agradezco infinito su esfuerzo y el detalle de intentar traducirlo:

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      Si dos figuras planas, o sólidas, hubieran sido colacas en la misma altura, pero dispuestas en planos rectilíneos, y llevadas en figuras sólidas y planas, siempre paralelas, con cuya posibilidad la altura fijada de antemano resultara tomada, se habría encontrado que las proporciones, cortadas con figuras sólidas, son fuerzas proporcionales, manifestándose siempre homólogas en la misma figura, dichas figuras estarán entre sí, como uno cualquiera de aquellos antecedentes, correspondiéndole hacia su consecuente en la otra figura.

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    • Y en román paladino podría decir algo así:

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      Si dos figuras planas ( o sólidas) tienen igual altura y las secciones hechas por rectas paralelas ( planos paralelos en caso de sólidos) a las bases y a igual distancia de ellas están siempre en la misma razón, entonces las figuras planas (o los sólidos) están también en la misma razón.

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    • Principio de Cavalieri para figuras planas

      Comencemos con un ejemplo para figuras planas:

      • Ejemplo del Principio de Cavalieri para figuras planas

        Aquí podemos ver la esencia del enunciado del principio de Cavalieri para figuras planas.

      • Primer ejemplo Constructible del Principio de Cavalieri para figuras planas

        Con una tabla, unas pajitas de bar, un poco de porexpan y dos piezas de cartón podemos simular perfectamente la idea del principio de Cavalieri para figuras planas
        - Si hacemos en el porexpan cortes curvos o rectos "muy inclinados" entenderemos mejor la importancia de que las cañitas no pueden ser tales sino que deben ser líneas indivisibles
        

      • Una barandilla de acero inoxidable.

        
        Un barandilla de acero inoxidable nos hace también pensar en Cavalieri e incluso, con un poco más de imaginación, elaborar un par de artilugios que nos hagan dudar, que nos hagan pensar y que nos aclaren más las cosas.
        
      • El Principio de Cavalieri, como todo paso al infinito, es complejo.
        
        - Nos puede llevar a dudas profundas y atener que mirar las cosas varias veces más para que parezcan estar claras.
        

      • Tercer ejemplo Constructible del Principio de Cavalieri para figuras planas

        Con unos cordeles gruesos y algunos más finos tendremos otra simulación muy interesante.
        - Ahora, tal vez la intuición nos engañe en principio.
        
        

        Para manipular

    • Principio de Cavalieri para sólidos

      • Ejemplo del Principio de Cavalieri para sólidos

      • Ciclindros con escoliosis o pilas de CD's

        Aplicando pues el principio de Cavalieri podemos afirmar que el volumen de cualquier cilindro, por extraño que éste sea, por mucho que tenga desviada la columna será igual a área de la base por la altura

        La idea que hemos enunciado como principio de Cavalieri vuelve a cobrar aquí toda su dimensión y lo hace cuando la figura en cuestión es "totalmente curva"

        Con unos CD's y unas cuerdas ilustramos también la idea.

        Una vez más, puede ser que la intuición nos engañe ... o puede que no.

      • Y qué tal la intuición de Cavalieri con "churros de nadar"?
        
        ¿Tendrán el mismo volumen los dos churros?
        ¿Fallará el principio de Cavalieri?
        ¿Qué nos dice el principio de mirar y ver?

  • Los indivisibles y el Infinito

    Lo infinitamente divisible es un concepto inseparable del de continuidad. Se trata de un asunto complejo y de cierta enjundia.
    […]
    Cavalieri, está dispuesto a considerar que los objetos continuos son susceptibles de ser divididos en partes elementales, en “mónadas”, como átomos constitutivos que ya no pueden ser divididos en partes más pequeñas (indivisibles).
    […]
    Es consciente de que todos estos indivisibles tienen que figurar en número infinito, pero en realidad es otro de los matemáticos que pasa de puntillas sobre esta cuestión.

    Un descubrimiento sin fin.El infinito matemático - Enrique Gracián -

    • La idea de Indivisible de Cavalieri, el discreto y el continuo

      • La idea gráfica de un indivisible

      Y aunque este hecho es tan antiguo como Eudoxio y su principio de Exhaución, utilizado tan hábilmente por Arquímedes y, por supuesto, en el fondo del razonamiento de Cavalieri ... "Infinitos indivisibles hacen un contínuo finito"

      • De lo discreto al infinito continuo

  • La trascendencia del Principio de Cavalieri

    De los procedimientos surgidos en el primer tercio del siglo XVII para resolver los cálculos de áreas y volúmenes, el que más influencia tuvo fue el de los indivisibles de del ¿jesuita? Bonaventura Cavalieri (1598-1647) , discípulo de Galileo y profesor en Bolonia (tal vez es preciso exceptuar los métodos desarrollados por Kepler para el cálculo de volúmenes de revolución, que tanto ayudaron a los vinateros austriacos en el diseño de sus barriles y barricas). Se puede afirmar, groso modo, que los indivisibles suponen un redescubrimiento de las bases metodológicas del método mecánico de Arquímedes. Cavalieri consideró las áreas formadas por segmentos y los volúmenes formados por trozos de áreas planas.
    […]
    Comparando con lo que vino después, el método de los indivisibles de Cavalieri presenta una serie de desventajas: poca generalidad de uso, excesiva dependencia de razonamientos y procedimientos geométricos, sin entrar en su debilidad lógica.
    […]
    Además, de las desventajas del método de los indivisibles muy pronto se empezaron a superar. Así, Evangelista Torricelli (1608-1647), amigo de Cavalieri, los usó de manera magistral, aportando además demostraciones rigurosas al estilo griego, mientras que tanto Fermat como Pascal y Wallis, sin entrar en los infinitesimales de G.P. Roberval (1602-1675), transformaron en aritméticos los procedimientos geométricos de Cavalieri, ampliando en consecuencia, la generalidad y potencia de su uso.

    La verdad está en el límite. El cálculo infinitesimal. - Antonio J. Durán -

    • Pero poco me importa si la geometría me ayuda a entender los conceptos que busco ...

      De hecho, en los indivisibles de Cavalieri se ven con tanta nitided las ideas que, probablemente, llevaron después al cálculo y que nuestros alumnos desconocen porque sólo les enseñamos a calcular, cosa que hoy hacen tan ágilmente las máquinas ...
      Por cierto, la mejor justificación que he encontrado para que mis alumnos de 1º de la ESO vean que "el orden de los factores no altera el producto", es geométrica.
      

      • El orden de los factores no altera el producto

Más taller para que el protagonista seas tú

• Demos algunas vueltas para empezar

  No es difícil, aplicando el Principio de Cavalieri, observar que un círculo es, un conjunto de segmentos indivisibles que, con una "régula común adecuada" coinciden con los de un triángulo.
  

  • Viendo un círculo como un triángulo ... gracias a Cavalieri

    
    Ya hemos dicho la argumentación de que:
    
    "Todo círculo es como un triángulo rectángulo cuyo radio es iagual a uno de los lados que forman el ángulo recto y el perímetro es igual a la base"
    
    La estableció Arquímedes en su tratado titulado Medida del círculo, utilizando el principio de exahución.
    
    
    
    
    
    

  • Un círculo de revolución

    Si pretendemos ver el círculo o la corona circular como una figura de revolución formada por segmentos rectilíneos nos encontramos con una sorpresa muy desagradable y no llegaremos a soluciones sencillas.
    Nuestra manualidad nos lo deja bien claro usando un conjunto de segmentos que cuelgan de una cuerda y haciendo que ésta se envuelva alrededor de un círculo:

• ¿Qué es una elipse en realidad?

  ¿Cuántas cosas distintas comentamos sobre una elipse a nuestros alumnos y casi todas desconectadas entre si?

  • Algunas veces decimos que sale de un cono ...

    Este es el motivo de que la Elipse sea una cónica pero, raramente vamos más allá de la pura anécdota.

  • En un "tema diferente", contamos que tiene dos focos.

    
    En la charla sobre Cavalieri que tenía como finalidad animar a los profesores para que participasen con sus alumnos en este taller, aparecia una gran mentira pero que hubiese sido hermoso que fuera cierto.
    Hubiera sido hermoso pero no era cierto que los focos correspondían con los vértices de los dos conos invertidos.
    
    
    Glosando nuevamente a Arquímedes:

    Arquímedes a Dositeo ¡Salud!
    De los teoremas que envié a Conón, respecto alos cuales me encargas constantemente que te escriba las demostraciones, la mayoría las tienes escritas en lo que te llevó Heraclidas y algunas otras te las escribo y envío en este libro.
    No te extrañes si dejo pasar mucho tiempo antes de publicar las demostraciones. Ocurre que esto ha tenido lugar porque yo quería primero entregarlas alos qeu se dedican a las matemáticas y prefieren hacer la investigación.
    [...]
    Pero habiendo transcurrido muchos años desde la muerte de Conón, no tengo noticia de que nadie haya logrado ningún avance en ninguno de los problemas.
    Yo, por mi parte, quiero proponerlos uno por uno, porque resulta que añadí a la lista dos problemas de los que yo aún no había determinado completamente la solución, para que los que andan diciendo que lo descubren todo pero no dan a conocer ninguna demostración queden refutados por haber admitido que habían descubierto imposibles.
    

    
    
    

  • Poquísimas veces, por no decir nunca, contamos que si corta un cilindro ...

    También obtenemos un elipse, como podemos ver en la siguiente figura.

    Para recortar	Para fabricar	Para manipular

  • Y nunca contamos o proponemos ...

    Que si una elipse sale de cortar un cono y de cortar un cilindro, si tenemos cortado un cono, podremos colocar un cilindro en su interior que ajuste la elipse.

  • Pero entonces, ¿qué es lo importante?

    
    
    Ahora si, parece que ya empiezo a entender
    Las cosas importantes aquí
    Son las que están detrás de la piel
    Y todo lo demás….
    empieza donde acaban mis pies
    después de mucho tiempo aprendí
    que hay cosas que mejor no aprender.
    
    El colegio poco me enseño…..si es por esos libros nunca aprendo

  • Y regresando con Cavalieri

    • Puedo calcular el área de una elipse ...

      De una manera sencilla y elegante.

      Para recortar	Para manipular

    • Pero , ¿qué hubiera pasado si efectúo los cortes con planos verticales pero girados 90º?

      Si probamos nos llevaremos una sorpresa mayúscula porque nos da el erróneo resultado de que la Circunferencia base del cilindro y la Elipse, debería tener la misma superficie y esto ... ¡También es mentira!
      ¿Acaso falla el principio de Cavalieri?

• ¿Y la demostración?

  
  En realidad Cavalieri nunca pudo demostrar con rigurosidad su principio. Como hemos indicado, tampoco Arquímedes en su Método cree en la rigurosidad de los indivisibles.
  Pero Cavalieri tenía claro que su método funcionaba, tenía la intuición visual y formal de que funcionaba. De hecho, el dió la idea y alguien lo formalizó después.
  Sin duda, la demostración es la esencia de las matemáticas, lo que la diferencia de cualquier otra ciencia, y sin ella, nada sería igual. Pero:

  • La demostración tiene su momento ...

    
    Cuando yo tenía unos 16 años, uno de los momentos culminantes del mes era la lectura de la columna "Mathematical Games" de Martin Gadner en Scientific American. Cada columna contenía algo nuevo para atraer mi atención, y era matemática, y era divertida. Yo era afortunado porque tenía algunos profesores de matemáticas excelentes, de modo que ya sabía que las matemáticas eran algo de lo que se podía disfrutar y que no estaban grabadas en piedra. La columna de Martin Gadner reforzaba estos mensajes [...] había muchas matemáticas "serias" mezcladas con las divertidas.
    [...] Lo que me importaban eran las matemáticas, y disfrutaba del trabajo matemático y el juego matemático sin sentir ninguna necesidad de separarlos.
    [...] Yo culpo a Euclides y su imitadores de hacer las matemáticas tediosas y mecánicas, obsesionado con verificar que el enunciado 17 del Teorema 46 se sigue del Lema 25 [...]. No tengo nada contra las demostraciones, pero hay un tiempo y un lugar para ellas, y el desarrollo temprano de la intuición visual en matemáticas no es ni lo uno ni lo otro.

    Locos por las matemáticas - Ian Stewart -

  • Incluso puedo no encontrarla ...

    (Domingo 12 de Abril de 1931) - No me digas que no has encendido la radio en todo el día – le dijo. - Prefiero enterarme de lo ocurrido por tu boca. Es más divertido – argumentó Jesús. - Mañana, si se proclama la República, no te dejaré solo en casa. Saldremos juntos a la calle – prometió Francisca -. Pero a mi no me engañas, estás preocupado por algo y no creo que tenga nada que ver con la política. - He recibido una carta de mi amigo griego. - ¿Le ha pasado algo? - De salud está bien, pero el asunto que me cuenta no sólo le afecta a él, sino a todos los matemáticos del mundo. Junto a la carta me ha enviado un artículo científico realmente inquietante. - ¿Puedo saber de qué se trata? - Aún no lo he descifrado del todo, pero Petros anuncia una catástrofe. Según él, un joven lógico y matemático de Viena acaba de demostrar en ese artículo la existencia de teoremas que, aun siendo ciertos, no pueden probarse ni refutarse. -¿A ti y a mi qué nos va en ello? – inquirió Paquita evangélica. - A ti puede que poco, pero a mí sí y mucho. Puedo estar persiguiendo una ilusión, metido en una trampa urdida en el siglo XVII por el matemático francés del que te he hablado (se refiere a Fermat 1601 - 1665) […] Una semana más tarde, Jesús escribió a Petros confirmándole los malos presagios. A su juicio, el artículo del vienés no tenía fallos. […] Petros contestó a vuelta de correo con una carta casi desesperada. « He viajado a Viena y me he entrevistado con el individuo en cuestión. Es un tipo muy joven, bajito y miope, que se cubre los ojos con unas lentes tipo culo de vaso. Fui directo al grano y le pregunté si existía algún procedimiento para saber, a priori, si un teorema tiene demostración o no la tiene. Aquel pichafría me contestó, completamente en serio, que toda conjetura puede, en principio, ser indemostrable.» […] Me entraron ganas de estrangularlo, pero me contuve. Para acabar de adornar este fiasco, has de saber que Russell y Witehead, nada menos, han escrito que la prueba de ese enano, que ni siquiera es vienés, sino moravo, resulta irreprochable. De hecho, el término que han empleado es sublime. ¿Te acuerdas de la frase de Hilbert: «En Matemáticas no hay ignorabimus»?. Pues a la mierda, es lo más suave que se me ocurre decir. El rescoldo - Joaquín Leguina -

• Y ahora juguemos con las pirámides

  • Una pirámide de cuadrados

    Sólo tenemos que cortar cuadrados de cartón pluma, de cartón, de papel, ..., hacerles unos agujeros y ...

  • El volumen de cualquier pirámide, o de cualquier pirámide con lumbago ....

    Aplicando pues el principio de Cavalieri podemos afirmar que el volumen de cualquier pirámide que resulte por deformación en anchura de otra, por extraña queaquella sea, es igual en volumen a la original.

  • El volumen de una pirámide de cuadrados

    Vemos aquí que, el volumen de una pirámide de cuadrados cuya altura es igual al lado del cuadrado de base es 1/3 del área de la base por la altura

    Y tendríamos que poder generalizar el resultado para pirámides cualesquiera.

    De hecho, un bonito ejercicio es hacer lo mismo que en el applet anterior pero para una pirámide de base rectancular

    Así lo dejábamos el día de la charla esperando que alguien lo abordase.

  • Aquí tenemos algo con lo que empezar a observar

    Para recortar	Para fabricar	Para manipular

• ¡Qué parábola: La cuadratura de la parábola.!

  
  Vamos a darnos una ligera licencia e iremos más allá de lo que el propio Cavalieri fué. De hecho, mezclaremos un poco el indivisible geométrico de Cavalieri con lo que Wallis, Roberval y otros hicieron después, dándoles un valor numérico y poniendo así una nueva piedra en el camino hacia el cálculo.
  
  ¿Por qué no? Seguro quwe todos vosotros me entendéis ...

  
  Fidias era la única persona que lo había comprendido a medida que iba haciéndose mayor. A menudo, Arquímedes sentía que todos los demás tenían un punto ciego en medio de la cabeza. Podían mirar un triángulo, un círculo, un cubo... pero no los veían de verdad. Lo explicaba una y otra vez, pero no comprendían. Explicaba la explicación, y lo miraban perplejos, preguntándose en voz alta por qué motivo aquello era tan maravilloso. Pero lo era, indeciblemente maravilloso. Aquello era todo un mundo, un mundo sin existencia material, pero iluminado por la razón pura, y los demás eran incapaces de verlo. Excepto Fidias. Su padre se lo había mostrado, le había enseñado sus formas y sus reglas, y había compartido con él todas sus exclamaciones de asombro. Cuando Arquímedes se hizo mayor, siguieron explorando juntos ese otro mundo. Habían conspirado, reído juntos con el ábaco, discutido axiomas y demostraciones. En las noches claras, caminaban el uno al lado del otro por las colinas para observar las estrellas y calcular la distancia de la Luna. Sólo ellos dos, en toda Siracusa, se sentían como en casa en aquel mundo invisible. Los demás, incluso los más cercanos y queridos, quedaban siempre fuera.

  El contador de Arena - Gillian Bradshaw -

  
  

  • La cuadratura de la parábola

    Para observar	Para manipular

    
    Con la cuadratura que hemos propuesto, hemos dado un valor numérico a cada indivisible y hemos hecho una identificación entre la acumulación de las líneas que llenan el segmento parabólico con la acumulación de los cuadrados que les corresponden y que determinan una pirámide.
    En realidd, hemos hecho cálculo integral.
    Ya Arquímedes había cuadrado la parábola de varias formas diferentes. Incluso una de ellas con un método mecánico, con sus palancas, reconociendo él mismo que no se trataba de un método totalmente riguroso.

• ¡Y la cubatura de la esfera!

  • La cubatura de la esfera

    Arquímedes se sintió especialmente orgulloso de haber encontrado la relación entre la esfera y el cilindro que la contiene, llegando a pedir que sobre su tumba pusiesen un dibujo con una esfera dentro de un cilindro y la relación 3 / 2 entre el volumen del cilindro y el de su esfera contenida.
    Yo también me encuentro moderadamente orgulloss de haber cubado la esfera utilizando sólo, el Principio de Cavalieri.
    Como le sucedía a Cavalieri, el método no es totalmente riguros, pero funciona.

    Para observar	Para manipular

    • Dejemos nuevamente una incógnita complicada ...

      Si aplicamos el mismo procedimiento para intentar calcular la superficie esférica, obtenemos nuevamente un resultado erróneo. En este caso, el resultado sería S = (π r )² y, como antes, nos podemos preguntar ...
      ¿Acaso falla el principio de Cavalieri?

• Podríamos haber jugado con Conos, Esferas y Elipsoides

  
  Pero esto será en la próxima ocasión. Si tienes interés, aquí van algunos dibujos manipulables.

  • El volumen de la esfera, o del cono, o del cono y la esfera ...

    Ya Arquímedes, en su obra "Sobre la esfera y el Ciclindro" había establecido la relación entre cono, cilindro y esfera. Además, había calculado el volumen de la esfera con una aproximación muy buena de π

  • El volumen del elipsoide, o del cono o del cono y del elipsoide ...

    Recordemos aquí dos de los problemas presentados al hablar de Matemáticas y Realidad. Podemos ahora dibujarlo y resolverlo. También el procedimento de cálculo incorporado mediante Javasctript nos ayuda.

• Viendo una cicloide para terminar

  Una cicloide es la curva que describiría un punto cualquiera de un círculo al hacer que éste rodara. Suponemos que el punto no es el centro del círculo porque, en ese caso, la cicloide sería una decpcionante línea recta.

  • La cuadratura de la Cicloide

    
    El 1634 Gilles Personne de Roberval determinó la forma de la cicloide y, unos años después, consiguió cuadrarla utilizando con maestría los indivisibles de Cavalieri.

Agradecimientos a los colaboradores en la elaboración de materiales o en la exposición de los mismos

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