Funciones Trigonométricas inversas

La generalización de las razones trigonométricas a cualquier ángulo, sea agudo o no, provoca que tengamos muchos valores diferentes de ángulo que tienen el mismo Seno, muchos valores diferentes de ángulo que tienen el mismo Coseno y muchos valores diferentes de ángulo que tienen la misma Tangente.

Este hecho se comprueba gráficamente al ver las razones trigonométricas como funciones. En matemáticas, cuando una función tiene la característica de que dos valores diferentes de entrada pueden dar como resultado el mismo valor de salida, decimos de que la función no es inyectiva.

Este tipo de funciones tienen un pequeño problema al querer definir su inversa, es decir, al pretender construir una nueva función que, conocido sólo el resultado de la primera, sea capaz de darnos el número que introdujimos como entrada. Basta pensar en el siguiente ejemplo:

Si sabemos que Sen(α) = 0,5, ¿cuál es el valor de α en el que estoy pensando?

Está claro que la solución no es única, puede haber infinitos resultados posibles.

El seno de un ángulo puede tomar un valor en el intervalo [-1,1]. En la misma vuelta de circunferencia hay dos intervalos de valores de ángulo que barren estos valores del Seno. Su representación gráfica y su justificación la puedes obvservar en el Applet adjunto.

Puedes comprobar que, la calculadora siempre nos responde de esta manera. Para obtener el ArcoSeno de x en la calculadora se teclea el valor x y después la secuencia de teclas: INV SIN

• Sen(ArcoSen(x)) = x
• ArcoSen(Sen(α)) = α sólo si α está en [-π/2, π/2]

El coseno de un ángulo puede tomar un valor en el intervalo [-1,1]. En la misma vuelta de circunferencia hay dos intervalos de valores de ángulo que barren estos valores del Coseno. Su representación gráfica y su justificación la puedes obvservar en el Applet adjunto.

Puedes comprobar que, la calculadora siempre nos responde de esta manera. Para obtener el ArcoCoseno de x en la calculadora se teclea el valor x y después la secuencia de teclas: INV COS

• Cos(ArcoCos(x)) = x
• ArcoCos(Cos(α)) = α sólo si α está en [0, π]

La Tangente de un ángulo puede tomar un valor en el intervalo (-∞,+∞). En la misma vuelta de circunferencia hay dos intervalos de valores de ángulo que barren estos valores de la Tangente. Ahora, el intervalo en el que puede tomar valores la respuesta de la función ArcoTangente es un intervalo abierto (-π/2,  π/2) ya que no hay ningún número real que sea tangente de π/2 ó de -π/2 .

Su representación gráfica y su justificación la puedes obvservar en el Applet adjunto.

Puedes comprobar que, la calculadora siempre nos responde de esta manera. Para obtener el ArcoTangente de x en la calculadora se teclea el valor x y después la secuencia de teclas: INV TAN

Observa así mismo que:

• Tag(ArcoTag(x)) = x
• ArcoTag(Tag(α)) = α sólo si α está en (-π/2, π/2)