Pentágono, ángulos y trigonometría

En un tema anterior hablamos del número aúreo, Pentágonos y relaciones aúreas utilizando nociones de proporcionalidad y ángulos. Ahora vamos a utilizar razones trigonométricas para trabajar con algunos de aquellos conceptos como ejercicio de Trigonometría.

Ya vimos que llamábamos Triángulo áureo menor a aquél cuyos ángulos son 36º, 72º y 72º y que la relación entre cualquiera de sus lados mayores y el lado menor es la razón aúrea.

En un pentágono regular, si desde un vértice cualquiera trazamos las dos diagonales nos queda un triángulo áureo menor determinado por éstas y el lado.
Trazando la altura correspondiente al lado nos encontramos con dos triángulos rectángulos con las siguientes características:

• Son rectos y la hipotenusa es la diagonal del Pentágono.
• El ángulo agudo menor es de β=18º y su cateto opuesto es la mitad del lado del Pentágono.
• El ángulo agudo mayor es γ=72º

Aplicando la definición de Seno y Coseno obtenemos que:
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También llamamos Triángulo áureo mayor a aquél cuyos ángulos son 108º, 36º y 36º y la relación entre su lado mayor y cualquiera de sus lados menores es la razón aúrea.

En un pentágono regular, si unimos mediante una diagonal dos vértices no consecutivos nos queda un triángulo áureo mayor determinado por dos lados contiguos y la diagonal.
Trazando la altura correspondiente a la diagonal nos encontramos con dos triángulos rectángulos con las siguientes características:

• Son rectos y la hipotenusa es el lado del Pentágono.
• El ángulo agudo menor es de δ=36º y su cateto opuesto es la mitad de la diagonal del Pentágono.
• El ángulo agudo mayor es γ=54º

Aplicando la definición de Seno y Coseno obtenemos que:
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• Si en un Pentágono regular P trazamos sus diagonales (las 5) obtenemos un Pentágono estrellado y, en su interior, un nuevo Pentágono menor P'.
  La razón entre el lado de P y el lado de P' es φ²=φ+1 (la razón aúrea más 1).
• Por contra, si partimos de un Pentágono regular P' cualquiera y construimos sobre cada uno de sus lados un Triángulo aúreo menor obtenemos un Pentágono estrellado mayor y, uniendo los vértices de la estrella, otro Pentágono regular P.
  La razón entre el lado de P y el lado de P' es φ+1 (la razón aúrea más 1).

Basta recordar algunos resultados ya vistos:

1. El radio es al lado del Decágono regular inscrito como la razón aúrea (RG.10a)
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2. El Cos(18º) es igual al cociente entre la mitad del lado del Pentágono y el Lado del Decágono.
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   Lo recordamos en la figura adjunta pero es consecuencia de lo visto en (RG.10) al verse implicado un triángulo aúreo menor
3. El valor del Cos(18º) visto arriba:
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Despejamos r y L₅ en las expresiones 1 y 2 y sustituimos en la igualdad que queremos demostrar. Aplicamos el valor de Cos(18º) de 3 y concluimos que la igualdad se cumple:
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Utilizando el resultado que acabamos de ver nos encontramos con otra típica construcción de un Pentágono regular dado el radio que difiere ligeramente de la vista anteriormente.

Ahora, basta construir un rectángulo aúreo del que el radio sea el lado menor, operación que también hemos descrito anteriormente, y tendremos tanto el lado del Pentágono que buscamos como el lado del Decágono.