Algunas "mentiras" clásicas

La trascendencia de π es la causa de muchos problemas irresolubles y de muchas mentiras clasicas que damos por soluciones exactas siendo en realidad métodos aproximados. El hecho de que π sea trascendente conlleva que no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales y, esto, a su vez, implica que no puede ser construido con regla y compás (se puede demostrar que, toda construcción de este tipo podría calcularse utilizando expresiones polinómicas).

La rectificación del arco es imposible con regla y compás. Lo que podemos conseguir son aproximaciones que, serán más exactas cuanto más preciso sea el valor de π que tomemos en el proceso.

En el Applet adjunto hemos representado uno de tantos métodos de rectificación de un arco. En este caso, la rectificación de un arco de un cuarto de circunferencia.

En nuestro caso la justificación que se demuestra en la construcción es que, se toma como "un cuarto de circunferencia rectificado" un segmento de longitud 11/7 del radio de la circunferencia. Como sabemos que 2·π· radio es la longitud total de la circunferencia, un cuarto de la misma debería medir (π/2)· radio. Esta construcción nos ofrece una aproximación de π por 22/7

El procedimiento que solemos encontrarnos en los libros de Dibujo Técnico para la trisección del ángulo agudo es un método aproximado que sólo es exacto cuando el valor del ángulo a trisecar es 45º.

En el Applet adjunto detallamos ese proceso de construcción y comentamos por qué es un método exacto para 45º.

Cuando veamos más adelante resultados trigonométricos, comprobaremos que el método no es exacto para otros valores de ángulo diferentes a 45º.

El procedimiento que solemos encontrarnos en los libros de Dibujo Técnico es un método aproximado (No se puede construir con regla y compas de manera exacta). Éste método tiene un error fijo que nos lleva a que hay 8 lados iguales cuyo ángulo central es aproximadamente 39'88554º y un lado que tiene un exceso. El error acumulado implica que el último lado en ser dibujado abarca un ángulo central de, aproximadamente, 1'03012º más que los otros ocho.

En el Applet adjunto detallamos ese proceso de construcción y se aprecia perfectamente el error cometido.

El procedimiento, que solemos encontrarnos en los libros de Dibujo Técnico, es un método aproximado.

En el Applet adjunto detallamos este proceso de construcción y el análisis del error, utilizando trigonometría del ángulo agudo.