Funciones Circulares ó Funciones Trigonométricas

Tal y como ya sabemos, para cualquier valor de ángulo podríamos calcular su Seno y Coseno. A partir de aquí, siempre que el Coseno no valga cero, se podrá calcular el valor de la Tangente.
En consecuencia, podríamos definir las correspondientes funciones que, dado un valor de ángulo, nos devolviesen el Seno, Coseno ó Tangente.
Considerando las definiciones de Seno, Coseno y Tangente de un ángulo cualquiera resulta que, una vez completada una vuelta de circunferencia, los valores del Seno, Coseno y Tangente se repiten. Por esta razón llamamos a estas funciones, funciones circulares.

Como el seno de un ángulo está definido para cualquier valor de ángulo en el intervalo (-∞,∞), definimos una función real de variable real
Sen: R -> R
de tal modo que, a cada valor x, le haga corresponder el valor del Seno(x), considerando x siempre un ángulo en Radianes.

En el applet adjunto puedes observar cómo se va dibujando la función.

Como el coseno de un ángulo está definido para cualquier valor de ángulo en el intervalo (-∞,∞), definimos una función real de variable real
Cos: R -> R
de tal modo que, a cada valor x, le haga corresponder el valor del Coseno(x), considerando x siempre un ángulo en Radianes.

En el applet adjunto puedes observar cómo se va dibujando la función.

La tangente de un ángulo está definida para cualquier valor de ángulo siempre que éste no sea un múltiplo de π/2. Definimos una función real de variable real
Tag: R -> R de tal modo que, a cada valor x, le haga corresponder el valor de la Tangente(x), considerando x siempre un ángulo en Radianes.

En el applet adjunto puedes observar cómo se va dibujando la función. Fíjate bien que, cuando el valor del ángulo se acerca a cualquier múltiplo de π/2, la función se dispara hacia el infinito.

Fíjate también que, para valores muy próximos a π/2, el valor de la tangente sigue siendo relativamente pequeño, de tal modo que, llega un momento en el que, una ligerísima variación del angulo hace que el valor de la tangente sea inmensamente diferente. Maneja la calculadora para comprobarlo.
Por ejemplo:

Tangente de ángulos próximos a π/2 radianes

x (radianes)	Tag(x)
1.570796326294	1999999589.598
1.570796326304	2040815902.652
1.570796326790	204223803340.3

Si hacemos estos mismo con valores de ángulo muy próximos a 0, la variación de la tangente no es nada significativa. De hecho, el valor del ángulo y la tangente son tan parecidos que la calculadora, con un nivel de precisión de más de 13 cifras decimales, los considera iguales:

Tangente de ángulos próximos a 0 radianes

x (radianes)	Tag(x)
0.000000000294	0.000000000294
0.000000000304	0.000000000304
0.000000000790	0.000000000790

Estos detalles son muy importantes para concluir que, cuando trabajamos con razones trigonométricas y, más aún, cuando lo hacemos con la Tangente, la elección del número de cifras decimales que vamos a utilizar depende mucho del contexto y, puede dar lugar a errores muy significativos.

En el Applet adjunto tienes la representación simultánea del Seno, Coseno y Tangente de un ángulo.
A la vista de los resultados de los apartados anteriores es fácil deducir que: Ya hemos visto que:

1. No puede haber dos ángulos agudos (en el primer cuadrante) que tengan el mismo seno ni el mismo coseno. Esto es consecuencia de dos resultados ya vistos sobre Senos y Cosenos.
2. Si dos ángulos α y β estuviesen en el mismo cuadrante (2º, 3º ó 4º) y tuviesen el mismo seno o el mismo coseno, habría dos ángulos del primer cuadrante que también lo tendrían:
   • Si están en el 2º: los que resulte de restarles π/2.
   • Si están en el 3º: los que resulte de restarles π.
   • Si están en el 4º: los que resulte de restarles (3·π)/2.
3. Los ángulos del primer y segundo cuadrante pueden tener el mismo seno pero nunca el mismo coseno (se diferencian en el signo).
4. Los ángulos del primer y tercer cuadrante no pueden tener ni el mismo seno ni el mismo coseno (se diferencian en el signo).
5. Los ángulos del primer y cuarto cuadrante pueden tener el mismo coseno pero nunca el mismo seno (se diferencian en el signo).

Hay una relación muy interesante entre el Seno y la Tangente de un ángulo cuyo valor es muy próximo a 0. Si observamos el Applet adjunto veremos perfectamente que, cuando el ángulo es casi 0, la Tangente , el Seno y el valor del propio ángulo son prácticamente iguales. De hecho, son tan iguales, que, decimos que son funciones equivalentes. Recordemos también que al hablar de Radián, establecimos que el radio r es la razón de proporcionalidad entre la medida de un arco y la medida de su ángulo central correspondiente, en radianes (RL.2). Así que, considerando una circunferencia de radio 1 y pensando en la definición del Seno y la representación de la Tangente en una circunferencia de radio 1 podemos afirmar también que:
Cuando el ángulo α está muy próximo a 0: el arco correspondiente a α , el Seno(α) y la Tangente(α) miden prácticamente lo mismo. Cuanto más próximo se encuentre α a 0, más iguales son.