Resolución de Triángulos Cualesquiera

Resolver un triánguloes dar la medida de sus 3 lados y de sus tres ángulos. Así pues, desde el punto de vista de la Trigonometría consideraremos triángulos congruentes como triángulos iguales porque sólo nos interesa la medida de sus elementos y no su posición. Es decir, que cualesquiera triángulos que seamos capaces de dibujar con esos datos, serán iguales a efectos trigonométricos. Así pues, es fundamental cuántos y cuáles de los elementos de un triángulo son necesarios para que éste quede determinado.

Cuando hablamos de Congruencia de Triángulos definimos unos Criterios de congruencia y, por tanto, sabemos que:

Vamos pues a detallar las estrategias de resolución, utilizando la Trigonometría, en cada uno de los casos mencionados.
Nuestro desarrollo va a ir paralelo a "la construcción gráfica" de los triángulos que queremos resolver e intentaremos dar una de las posibles vías de solución trigonométrica, la que se ajuste mejor a la construcción gráf

• Obtenemos el otro lado por el teorema del coseno
• Ahora conocemos los 3 lados y un ángulo. Para calcular uno de los otros dos ángulos podemos elegir entre:
  1. Teorema del seno: elegimos, de los dos ángulos que nos faltan por calcular, el que se oponga al lado más pequeño. Esta precaución nos garantiza que el ángulo es agudo y, obtenido el Seno, tendremos sin problemas el valor del ángulo.
  2. Teorema del coseno: en este caso es indiferente el ángulo que vayamos a calcular. Obtendríamos su coseno y el ángulo estaría determinado ya que la definición del Coseno de un ángulo cualquiera nos garantiza que, entre 0º y 180º no hay dos ángulos con el mismo coseno.
• El ángulo final queda ya determinado.

Prueba a resolver tu triángulo, dado un ángulo y los lados que lo comprenden:

γ º	Lado b:	Lado a:	Calculadora
Resolver
Lado c:	β	α

En el Applet adjunto tenemos el proceso constructivo a la par que vamos resolviendo el triángulo

• Conocer 2 ángulos supone que conocemos los tres, por ello sólo nos quedan 2 lados:
• Obtenemos otro de los lados por el teorema del seno
• El lado que nos queda podemos elegir para calcularlo:
  1. Por el teorema de seno.
  2. Por el teorema del coseno.

Prueba a resolver tu triángulo, dados dos ángulos y el lado comprendido:

β º	Lado a:	γ º	Calculadora:
Resolver
Lado b:	α	Lado c:

En el Applet adjunto tenemos el proceso constructivo a la par que vamos resolviendo el triángulo

Este caso es similar al anterior ya que, conocer dos ángulos supone conocer los tres y ahora, el lado que nos dan puede ser visto como comprendido entre dos de los ángulos.

También aquí podemos ver el proceso constructivo a la par que vamos resolviendo el triángulo, en el Applet adjunto.

Prueba a resolver tu triángulo, dados dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos:

β º	γ º	Lado c:	Calculadora:
Resolver
Lado b:	Lado a:	α

• Por el teorema del coseno, obtenemos uno de los ángulos. Podríamos calcular cualquiera de ellos pero sería recomendable calcular el ángulo que se opone al lado mayor. Esto nos garantizaría que los dos ángulos que quedan por calcular son agudos
• Ahora conocemos los 3 lados y un ángulo. Para calcular uno de los otros dos ángulos podemos elegir entre:
  1. Teorema del seno: elegimos, de los dos ángulos que nos faltan por calcular, el que se oponga al lado más pequeño. Esta precaución nos garantiza que el ángulo es agudo y, obtenido el Seno, tendremos sin problemas el valor del ángulo.
  2. Teorema del coseno: en este caso es indiferente el ángulo que vayamos a calcular. Obtendríamos su coseno y el ángulo estaría determinado ya que la definición del Coseno de un ángulo cualquiera nos garantiza que, entre 0º y 180º no hay dos ángulos con el mismo coseno.
• El ángulo final queda ya determinado.

Prueba a resolver tu triángulo, dados los tres lados:

Lado a:	Lado b:	Lado c:	Calculadora:
Resolver
α	β	γ

En el Applet adjunto tenemos el proceso constructivo a la par que vamos resolviendo el triángulo

Este es, sin duda, el caso más interesante porque podríamos obtener 2 posibles soluciones (Recordamos el 4º criterio de congruencia de triángulos).
El problema puede abordarse:

1. Aplicando el teorema del coseno
2. Aplicando el teorema del seno

Prueba a resolver tu triángulo, dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos:

γ º	Lado a:	Lado c:	Calculadora:
Resolver
Lado b:	α	β

En los dos apartados siguientes detallamos cada uno de los procesos de resolución por uno y otro método

Aplicando el teorema del coseno obtendriamos el lado que nos falta. Pero en este caso, nos aparece una ecuación de segundo grado que podría tener dos soluciones, por tanto, el lado que falta podría tener dos medidas distintas.
Para dar por buenas las soluciones obtenidas en la ecuación de 2º grado hay que tener presente un resultado básico: "La suma de dos lados cualesquiera siempre tiene que ser mayor que el otro".
A partir de aquí, nos encontramos en casos ya estudiados.

En el Applet adjunto tenemos el proceso constructivo a la par que vamos resolviendo el triángulo

Aplicando el teorema del seno obtendriamos el ángulo opuesto al otro lado conocido. Sin embargo, lo que realmente estaríamos obteniendo es el Seno de ese ángulo. Pero puede haber 2 ángulos entre 0º y 180º con el mismo valor del seno (p. ej. 70º y 110º), lo que nos podría llevar a dos posibles soluciones.
Como la suma de los ángulos de un triángulo siempre es 180 grados" , observando los valores posibles podremos decidir inmediatamente si las dos soluciones son válidas o sólo una lo es.
A partir de aquí, nos encontramos en casos ya estudiados.

En el Applet adjunto tenemos el proceso constructivo a la par que vamos resolviendo el triángulo