Teorema del Seno y Teorema del Coseno

Si en un triángulo cualquiera trazamos una de sus alturas, el triángulo queda dividido en dos triángulos rectángulos. Haciendo esto con cada una de las tres alturas relativas a cada uno de los lados y recordando los resultados inicales básicos que expresaban la proyección ortogonal de un lado del triángulo sobre la base en función del Coseno y la altura en función del Seno, vamos a obtener dos Teoremas que nos serán de mucha utilidad práctica en aquellos problemas que tengan como objetivo resolver triángulos cualesquiera. Recordemos que ya resolvimos triángulos rectángulos aunque en aquella ocasión, la condición de tener un ángulo recto nos permitía utilizar el Teorema de Pitágoras y la aplicación directa de la definición de razones trigonométricas de ángulos agudos.

la demostración la vemos gáficamente en el Applet adjunto y se basa en trazar cada una de las tres alturas del triángulo y recordar que la altura relativa a la base es igual al producto de otro de los lados por el Seno del ángulo agudo que forma ese lado con la línea de la base.

Este Teorema nos puede resultar para calculos trigonométricos:

• Conocidos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos nos permitirá calcular el lado opuesto al otro ángulo.
• Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos nos permitirá conocer el Seno del ángulo opuesto al otro lado. En este caso habrá que prestar mucha atención porque el Seno de un ángulo puede no determinar de forma única el ángulo correspondiente. Recordemos que:
  α y (180º-α) tienen el mismo Seno.

Ya vimos que, en todo Triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales y viceversa. Ahora vamos a ir un poco más allá en la relación entre ángulos y lados de un triángulo.

El Teorema del Seno nos garantiza que, en todo triángulo, cuanto mayor es el lado, mayor es el Seno del ángulo opuesto ya que las razones entre lado y Seno del ángulo opuesto son iguales. Nos queda pues probar que, a mayor Seno le corresponde mayor ángulo:

• Si los tres ángulos del triángulo son agudos, la definición de Seno de ángulo agudo nos garantiza lo que queremos
• Si alguno de los ángulos del triángulo no es agudo, sólo uno de ellos puede serlo porque la suma de los tres debe ser 180º.
  Representémoslos como ángulos centrales de una circunferencia, uno detrás de otro, de mayor a menor y observemos que:
  1. El trozo que falta al ángulo no agudo para llegar a 180º debe ser la suma de los otros dos ángulos.
  2. La suma de los dos ángulos agudos nos da un ángulo agudo que tiene el mismo seno que el ángulo no agudo.
  3. Cada uno de los ángulos agudos tienen un seno menor que el ángulo suma de los dos no agudos.
  4. En consecuencia, cada ángulo agudo tiene un seno menor que el no agudo

Un caso particular de este resultado es que, en un triángulo rectángulo, la hipotenusa siempre es mayor que cualquiera de los catetos.

En muchas lecciones trigonométricas se establece éste resultado previo que, para nosotros no es nada nuevo porque ya hemos visto el Teorema del lado opuesto al ángulo. En él se observaba de manera indirecta esta relación y se detallaba más.

El teorema de Pitágoras establece una relación entre los lados de un triángulo rectángulo, sin embargo, es fácil ampliar esta relación a cualquier triángulo, en los términos siguientes:

El Applet adjunto nos permite visualizar esta idea de una manera sencilla.

El Teorema del Coseno no es nada nuevo para nosotros porque se trata del mismo Teorema del lado opuesto al ángulo que ya vimos, sustituyendo ahora "la proyección ortogonal de una lado sobre otro" por su valor en función del Coseno, vista también anteriormente.

De ambos resultados se concluye:

La demostración la vemos en el Applet adjunto pero remitimos nuevamente al Teorema del lado opuesto al ángulo para comprobar que, el resultado era ya conocido sin hablar de Coseno de un ángulo, sólamente como aplicación de la proporcionalidad.

Como caso particular, cuando el ángulo implicado en el teorema del coseno es un ángulo recto (90º), obtenemos el teorema de Pitágoras. De hecho, ésta es la idea que subyace en el apartado anterior en el que damos una observación previa al Teorema del Coseno

Este Teorema nos puede resultar para cálculos trigonométricos:

• Conocidos dos lados y un ángulo nos permitirá calcular el tercer lado.
• Conocidos los tres lados nos permite calcular el Coseno de cualquiera de los ángulos del triángulo. La definición de Coseno de un ángulo cualquiera nos garantiza que, conocido el Coseno, sólo hay un ángulo entre [0º , 180º] que lo tenga.

Vamos a estudiar la precisión de un método clásico de Trisección del ángulo agudo.

Para recordar el método, pulsa en el enlace anterior y repásalo. Aquí vamos a retomarlo y a presentar de manera numérica los resultados.

Según la nomenclatura del Applet de construcción de la trisección del ángulo, tenemos:

[LaTeX]

Aplicando el Teorema del Seno al Triángulo OFL:

[LaTeX]

Aplicando el Teorema del Seno al Triángulo ODL:

[LaTeX]

Igualando ambas expresiones tenemos que siempre se cumple:

[LaTeX] (RO.4)

El objetivo de la construcción es que cumpliera lo siguiente:

[LaTeX]

Luego, para comprobar si es cierto o no, sustituyamos en (RO.4) el valor de γ por α/6 y comprobemos si la igualdad se sigue manteniendo. Al sustituir nos quedaría algo así:

[LaTeX]

La tabla de la derecha con 4 columnas podemos comprobar de grado en grado desde 1º hasta 90º que la igualdad sólo es cierta para 45º y 90º.