Razones Trigonométricas de ángulos cualesquiera

El concepto de razón Trigonométrica de un ángulo agudo puede generalizarse sin problemas a cualquier tipo de ángulo. De hecho, las relaciones de proporcionalidad son genéricas.

Sin embargo, para hacer esta generalización, no nos vale el patrón de un triángulo rectángulo porque todos sus ángulos son menores o iguales a un recto. Por ello vamos a trabajar con la circunferencia goniométrica

• Consideremos una circunferencia de radio 1. Como todas las relaciones trigonométricas son razones de proporcionalidad, el valor del radio nos resultará indiferente pero, si lo consideramos como 1, nos hará los cálculos más sencillos.
• Los ángulos se situarán sobre la circunferencia siguiendo los siguientes principios:
  1. El vértice en el centro de la circunferencia.
  2. Uno de sus lados lo haremos coincidir con el semieje positivo de las x.
  3. El otro lado se colocará donde le corresponda, abriéndo el ángulo en sentido contrario a las agujas del reloj.
  4. Cuando habramos el ángulo en el mismo sentido de las agujas del reloj, consideraremos su valor como negativo.

Si situamos los ángulos sobre la circunferencia goniométrica como hemos indicado en el apartado anterior:

Con esta ampliación de las definiciones para el Seno, Coseno y Tangente de un ángulo cualquiera podemos observar que:

1. El Seno de un ángulo cualquiera tiene que valer necesariamente entre -1 y 1
2. Sen(0º)=0, Sen(90º)=1, Sen(180º)=0 y Sen(270º)=-1
3. El Coseno de un ángulo cualquiera tiene que valer entre -1 y 1
4. Cos(0º)=1, Cos(90º)=0, Sen(180º)=-1 y Sen(270º)=0
5. La Tangente de un ángulo puede tomar cualquier valor entre +∞ y -∞
6. Tag(90º) y Tag(270º) no están definidas pues son un cociente entre 0.

Por supuesto, la relación fundamental de la trigonometría se sigue manteniendo, como se aprecia en el Applet adjunto.

También es bastante fácil observar que, las relaciones fundamentales establecidas para ángulos agudos, se siguen manteniendo para ángulos cualesquiera.

Ya comentamos al hablar de razones trigonométricas de ángulos agudos, las dificultades que tenemos para calcularlas y de que hoy en día, las calculadoras son herramientas necesarias para ello:

Calculo de Senos, cosenos y tangentes de ángulos cualesquiera

α º	Teclas Calcul.	Calcula:	Razones α	Calculadora
	SIN	Calcular	Sen(α)=
	COS		Cos(α)=
	TAN		Tan(α)=

Al aplicar la definición anterior en ángulos del intervalo [-90º , 90º] se puede observar, representando el ángulo en la circunferencia goniométrica, que los valores del Seno van barriendo el intervalo [-1 , 1] sin repetirse.
También se ve que:

Obtención de un ángulo a partir de un seno

Razón Trig.:	Valor:	Calcula:	Teclas Calcul.:	α º	Calculadora
Seno		Calcular	INV SIN	α =

Al aplicar la definición anterior en ángulos del intervalo [0º , 180º] se puede observar, representando el ángulo en la circunferencia goniométrica, que los valores del Coseno van barriendo el intervalo [1 , -1] sin repetirse.
También se ve que:

Obtención de un ángulo a partir del coseno

Razón Trig.:	Valor:	Calcula:	Teclas Calcul.:	α º	Calculadora
Coseno		Calcular	INV COS	α =

Ya hemos visto la representación gráfica de la Tangente para ángulos agudos, ahora nos vamos a limitar a ampliar la idea a ángulos cualesquiera. Para ello observamos el Applet adjunto.

La representación gráfica de la tangente nos permite ver con facilidad que:

Obtención de un ángulo a partir de la tangente

Razón Trig.:	Valor:	Calcula:	Teclas Calcul.:	α º	Calculadora
Tangente		Calcular	INV TAN	α =

La demostración es una cuestión gráfica muy sencilla sobre la circunferencia goniométrica que vemos en el Applet adjunto pero que es fácil de imaginar si:

• Representamos un ángulo α y su opuesto -α en la circunferencia goniométrica.
• El cateto que define el coseno de ambos ángulos es el mismo
• El cateto que define el seno de ambos ángulos es de la misma longitud pero uno hacia arriba y otro hacia abajo, es decir, de distinto signo.

La demostración es una cuestión gráfica muy sencilla sobre la circunferencia goniométrica que vemos en el Applet adjunto pero que es fácil de imaginar si tenemos en cuenta que:

• Representemos un ángulo α y 180º-α en la circunferencia goniométrica.
• El fragmento que le falta a 180º-α para llegar a 180º coincide con α.
• El cateto que define el seno de ambos ángulos mide lo mismo y tiene la misma orientación, hacia arriba.
• El cateto que define el coseno de ambos ángulos es de la misma longitud pero uno hacia la derecha y otro hacia la izquierda, es decir, de distinto signo.

La demostración es una cuestión gráfica muy sencilla sobre la circunferencia goniométrica que vemos en el Applet adjunto pero que es fácil de imaginar si tenemos en cuenta que:

• Representemos un ángulo α y 180º+α en la circunferencia goniométrica.
• El fragmento que le sobra a 180º+α de 180º coincide con α.
• El cateto que define el seno de ambos ángulos mide lo mismo y tiene distinta orientación, uno hacia arriba y el otro hacia abajo, luego distinto signo.
• El cateto que define el coseno de ambos ángulos es de la misma longitud pero uno hacia la derecha y otro hacia la izquierda, es decir, de distinto signo.

La demostración es una cuestión gráfica sobre la circunferencia goniométrica que vemos en el Applet adjunto. Este caso es, probablemente, el más difícil de visualizar. Tengamos en cuenta que:

• Representemos un ángulo α y 90º-α en la circunferencia goniométrica.
• El fragmento que falta a 90º-α para llegar a 90º coincide con α.
• El cateto que define el seno de α coincide ahora en tamaño con el que define el coseno de 90º-α, y tienen el mismo signo.
• El cateto que define el coseno α coincide ahora en tamaño con el que define el seno de 90º-α, y con el mismo signo.

La demostración es una cuestión gráfica sobre la circunferencia goniométrica que vemos en el Applet adjunto. Tengamos en cuenta que:

• Representemos un ángulo α y 90º+α en la circunferencia goniométrica.
• El fragmento que excede 90º+α de 90º coincide con α, es decir, que si giramos α exactamente 90º se va a superponer con ese fragmento.
• El cateto que define el seno de α coincide ahora en tamaño con el que define el coseno de 90º+α, pero con distinto signo.
• El cateto que define el coseno α coincide ahora en tamaño con el que define el seno de 90º+α, y con el mismo signo.