El número π. El radián. La Calculadora

Introducción

Parece ser que desde hace mucho tiempo se conoce que la medida de la longitud de la circunferencia es proporcional a su diámetro.
En los Elementos de Euclides (Libro XII) se justifica también que el área de un círculo es proporcional al cuadrado de su diámetro.
Arquímedes (entre el 300 y 200 a.C.), contemporáneo de Euclides, llega a hacer grandes avances en este terreno y consigue probar que:

• Las constantes de proporcionalidad entre el diámetro y la longitud de la circunferencia y entre el cuadrado del diámetro y el área del círculo son iguales ya que demuestra que el área de cualquier círculo es igual a la de un triángulo rectángulo en el cual uno de los catetos es igual al radio y el otro a la circunferencia del círculo
• Consigue dar un valor muy aproximado de esta constante de proporcionalidad afirmado que se encuentra entre 3+(10/71) y 3+(1/7)

Hoy todos los estudiantes desde sus años de primaria hablan de π e incluso saben que la longitud de la circunferencia es igual a: 2πr y que el área del círculo es: πr² , pero π es un número muy complicado que ha traido de cabeza a muchos matemáticos a lo largo de la historia para desentrañar sus secretos.

El número π tiene dos características fundamentales que lo han hecho muy esquivo. Como además su importancia como nexo de unión entre diámetro y longitud de la circunferencia y área del círculo, han hecho de él un número omnipresente, tenemos los elementos necesarios para una mezcla de misterio y fascinación.

1. π es irracional, es decir, no se puede expresar como razón de dos números enteros. Esto es equivalente a decir que tiene infinitos decimales y que, además, esos infinitos decimales no tienen una regla de repetición, no tiene periodo.
   Recordemos que esta era también una característica del número aúreo: φ
   • La búsqueda del valor exacto de π fue una constante hasta 1761 que Johann Heinrich Lambert demostró su irracionalidad.
   • Hasta en la Biblia aparecen aproximaciones de π con el valor de 3 ( Reyes I, 7, 23).
   • A partir de 1761 el juego ha consistido en dar el mayor número posible de cifras de π que, con la llegada de la era de las computadoras, ha conseguido resultados increibles.
   • Te adjuntamos aquí un Fichero con 4 millones de cifras de π
2. π es trascendente, es decir, no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros y esto, a su vez, implica que no puede ser construido con regla y compás.
   Esta característica no a tenía número aúreo: φ.
   • Problemas como la cuadratura del círculo han traido de cabeza a matemáticos de todos los tiempos hasta que en 1882 Carl Louis Ferdinand von Lindemann demostró que π era trascendente.
   • Muchos problemas geométricos clásicos para los que se da una solución aparentemente exacta, son procesos aproximados que nunca se podrán realizar con regla y compás porque π es trascendente.

Puesto que la longitud de la circunferencia es proporcional al radio, se puede definir:

El Radián es la medida de un ángulo central de una circunferencia tal que el arco que abarca tiene la misma longitud que el radio.
(RL.1)

En particular, ya que Longitud = 2·π·r, el ángulo total de la circunferencia será de 2·π radianes

Además de manipular el applet adjunto, trabaja con la calculadora para convertir ángulos de radianes a grados sexagesimales y viceversa. Ten presente que, al ser π un número irracional, siempre estaremos trabajando con aproximaciones y, por ello, podemos tener ligeros problemas con el redondeo.

Relaciones entre grados y radianes

Áng. Grados	0º	30º	45º	60º	90º	180º	270º	360º
Áng. Radianes	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3·π/2	2·π

La calculadora adjunta

En la imagen adjunta tienes un extracto de la calculadora general a la que da acceso el icono en el encabezado de todos los temas. En esta versión reducida hemos dejado únicamente las teclas que hacen alusión a funciones trigonométricas, a conversiones de grados, a conversiones entre grados y radianes y las de las operaciones básicas.

• La tela π nos muestra su valor aproximado. Internamente la calculadora maneja más cifras decimales a pesar de no mostrarlas.
• Las teclas DEG y GRAD nos permiten cambiar de modo a grados sexagesimales ó a Radianes. Si hay un valor en la pantalla de la calculadora éste se convierte automáticamente de un tipo a otro.
  Hay un cuadro indicador que presenta el modo actual de cálculo.
• Las teclas SIN , COS y TAN nos permiten obtener el resultado de calcular el Seno, Coseno ó Tangente, respectivamente, del valor del ángulo que se encuentre en la pantalla de la calculadora. Hay que prestar mucha atención al modo de medición de ángulos que tenemos seleccionado.
• La tecla especial INV tiene la finalidad de que se ejecute la función que una determinada tecla tiene escrito en su parte superior. En general será la función inversa de la que realiza la pulsación normal de la tecla. Cuando presionamos INV , ésta actúa a modo de commutador y podremos comprobar en el cuadro indicador correspondiente si se encuenta pulsada o no.
• Combinando lo indicado en los dos puntos anteriores, si en la pantalla tenemos un valor cualquiera y pulsamos INV  SIN ó INV  COS ó INV  TAN , obtendremos el valor de un ángulo cuyo Seno, Coseno ó Tangente, respectivamente, es el número que aparecía en la pantalla. Como hay valores que no pueden se el Seno ó el Coseno de ningún ángulo, puede que la calculadora nos devuelva la palabra "Error." en estos casos. Así mismo, hay muchos ángulos que tienen el mismo valor del Seno, muchos con el mismo valor del Coseno y también con el mismo valor de la Tangente; en estos casos sólo nos devolverá uno de los valores implicados tal y como estudiaremos más adelante al hablar de Razones Trigonométricas de ángulos cualesquiera y, sobre todo, al hablar de Funciones Trigonométricas inversas
• La tecla º'" permite pasar del Sistema sexagesimal de grados minutos y segundos tan habitual en la medida de ángulos, al sistema decimal. Por ejemplo, para transformar 4º 5' 6" al sistema decimal, tecleamos: 4  º'"  5  º'"   6  º'" .
• La conversión inversa desde el sistema decimal al sesagesimal se realiza pulsando INV  º'"