bola Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo

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Introducción

Dado un ángulo agudo cualquiera α podemos construir un triángulo rectángulo T de modo que uno de sus ángulos agudos sea α
Cualquier otro triángulo rectángulo con un ángulo agudo igual a α tiene la particularidad de que tener dos ángulos coincidentes con T , α y el ángulo recto.
Recordemos además que dos triángulos con dos ángulos iguales son semejantes. Por consiguiente, cualesquiera triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual a α serán semejantes entre sí.
Todo ello nos permite definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo α como relaciones de proporcionalidad de un triángulo rectángulo cualquiera que tenga a α como uno de sus ángulos.

Seno, Coseno y Tangente

Razones ángulo agudo
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El concepto de razón trigonométrica de un ángulo agudo se puede obtener como una consecuencia inmediata del concepto de proporcionalidad y de los resultados que de él se derivan como es la Semejanza de Triángulos. En particular, la razón de semejanza entre dos triángulos nos permite definir, partiendo de dos triángulos rectángulos en posición de Thales como los de la figura adjunta, Seno , Coseno y Tangente del ángulo agudo como los cocientes que se derivan de las relaciones de proporcionalidad siguientes:
Razones angulo[LaTeX]
(RJ.1)

Teniendo en cuenta que la hipotenusa de un triángulo rectángulo siempre es el lado más grade, concluimos inmediatamente:

Si α es un ángulo agudo:
  • 0 ≤ Sen(α) ≤ 1
  • 0 ≤ Cos(α) ≤ 1
(RJ.1a)

Observando los triángulos rectángulos y, aplicando el Teorema de Pitágoras se obtiene inmediatamente la relación fundamental de la trigonometría:

Relación fundamental[LaTeX]
(RJ.2)

Demostracion relacion fundamental[LaTeX]

Es evidente a la vista de las definiciones que la Tangente de un ángulo agudo se puede definir como el cociente entre el Seno y el Coseno del ángulo:

Tangente[LaTeX]
(RJ.3)

Demostración tangente[LaTeX]

Por otro lado, una relación muy interesante entre el Coseno y la Tangente es la siguiente:

Relación Coseno Tangente[LaTeX]
(RJ.4)

que se deduce fácilmente sin más que observar:

Demostración relación coseno tangente[LaTeX]

Observaciones importantes sobre notación:
A partir de aquí usaremos indistintamente las siguientes notaciones:
  • Seno α ó Sen α ó Sin α
  • Coseno α ó Cos α
  • Tangente α ó Tan α ó Tag α
También deberemos prestar mucha atención al uso de potencias con el Seno, Coseno y Tangente:
  • Sen2α = (Sen α)2 , pero distinto a : Sen α2
  • Cos2α = (Cos α)2 , pero distinto a : Cos α2
  • Tan2α = (Tan α)2 , pero distinto a : Tan α2

Representación gráfica de la Tangente de un ángulo agudo

Representación tangente
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Representando un ángulo agudo α como ángulo central en una circunferencia de radio 1, queda determinado un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el radio de la Circunferencia ( r = 1 ). En estas condiciones el Seno(α) coincide con el cateto adyacente al ángulo y el Coseno( α) es el cateto opuesto.
Considerando ahora el triángulo rectángulo que resulta de tomar el ángulo α y como cateto adyacente (base del triángulo) el radio de la circunferencia, obtenemos un nuevo triángulo que está en posición de Thales con el anterior y, por tanto, es semejante.
Utilicemos la proporcionalidad y tendremos la representación de la Tangente( α ).

En el Apllet adjunto puedes verlo con más detalle.

Razones Trigonométricas de 30º, 45º y 60º

Razones 30º, 45º, 60º
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Las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, no son valores fáciles de calcular. Durante muchos años, los estudiantes usaron libros de "Tablas Trigonométricas" para hacerlo.

Para algunos valores de ángulo específicos, la obtención de los valores del Seno, Coseno y Tangente es una aplicación inmediata del Teorema de Pitágoras:
Sobre una circunferencia dibujamos como ángulo central:

  1. α = 45º . En este caso el triángulo rectángulo que determina es isósceles y ambos catetos son iguales. Aplicamos Pitágoras y obtenemos fácilmente la medida de los lados y, por tanto, podremos obtener los valores del seno, coseno y tangente.
  2. α = 60º . En este caso es fácil observa que el triángulo rectángulo que determina tiene la particularidad de que el cateto adyacente al ángulo es la mitad del radio de la circunferencia. Aplicamos Pitágoras y obtenemos fácilmente la medida de los lados y, por tanto, podremos obtener los valores del seno, coseno y tangente.
  3. α = 30º . Mirando con detalle el caso de α = 60º vemos que el triángulo rectángulo tienen un ángulo de 60º y otro de 30º, en consecuencia, también podremos calcular las razones trigonométricas de 30º.

En el Applet adjunto lo trabajamos:

Razones Trigonométricas de ángulos agudos clásicos
0º30º45º60º
Seno01/2(√2)/2(√3)/2
Coseno1(√3)/2(√2)/21/2
Tangente01/(√3)1√3
(RJ.6)

Dos ángulos agudos son distintos si y sólo si su Seno es distinto

Ángulos distintos, seno distinto
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El proceso que describimos a continuación lo podemos trabajar gráficamente el el Applet adjunto.
  • Si partimos de dos ángulos iguales:
    1. Representamos los dos ángulos como ángulos centrales de una misma circunferencia. Para cada uno de dichos ángulos consideremos el triángulo rectángulo que se genera de forma natural sobre los dos radios que lo abarcan.
    2. Ambos triángulos tienen por hipotenusa un radio y, por tanto, la hipotenusa es igual.
    3. Tenemos pues dos triángulos rectángulos congruentes por tener un lado y un ángulo agudo iguales, en consecuencia, todos los lados deben ser iguales dos a dos.
    4. La definición de Seno como el cateto opuesto dividido entre la hipotenusa para cualquier triángulo que tenga a ese ángulo como suyo, nos garantiza que el seno de los dos ángulos debe coincidir.
  • Si partimos ahora de dos ángulos α y β con el mismo Seno:
    1. Por la libertad que nos da la definición de Seno de un ángulo agudo , representemos dos ángulos cualesquiera α y β como ángulos centrales de una misma circunferencia. Para cada uno de dichos ángulos consideremos el triángulo rectángulo que se genera de forma natural sobre dos radios que los abarcan.
    2. En estas condiciones la hipotenusa de ambos triángulos mide lo mismo y, teniendo en cuenta que el seno se define como el cateto opuesto al ángulo dividido entre la hipotenusa, si pretendemos que el seno de ambos ángulos sea el mismo, ello nos obliga a que el cateto opuesto mida también lo mismo.
    3. Ambos triángulos rectángulos son congruentes porque tienen la hipotenusa y un cateto iguales y, todos sus ángulos deben ser iguales dos a dos, en particular, α debe ser igual a β

Dos ángulos agudos son distintos si y sólo si su Coseno es distinto

Ángulos distintos, coseno distinto
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El proceso que describimos a continuación lo podemos trabajar gráficamente el el Applet adjunto.
  • Si partimos de dos ángulos iguales:
    1. Representamos los dos ángulos como ángulos centrales de una misma circunferencia. Para cada uno de dichos ángulos consideremos el triángulo rectángulo que se genera de forma natural sobre los dos radios que lo abarcan.
    2. Ambos triángulos tienen por hipotenusa un radio y, por tanto, la hipotenusa es igual.
    3. Tenemos pues dos triángulos rectángulos congruentes por tener un lado y un ángulo agudo iguales, en consecuencia, todos los lados deben ser iguales dos a dos.
    4. La definición de Coseno como el cateto adyacente al ángulo dividido entre la hipotenusa para cualquier triángulo que tenga a ese ángulo como suyo, nos garantiza que el coseno de los dos ángulos debe coincidir.
  • Si partimos ahora de dos ángulos α y β con el mismo Coseno:
    1. Por la libertad que nos da la definición de Coseno de un ángulo agudo , representemos dos ángulos cualesquiera α y β como ángulos centrales de una misma circunferencia. Para cada uno de dichos ángulos consideremos el triángulo rectángulo que se genera de forma natural sobre dos radios que los abarcan.
    2. En estas condiciones la hipotenusa de ambos triángulos mide lo mismo y, teniendo en cuenta que el coseno se define como el cateto adyacente al ángulo dividido entre la hipotenusa, si pretendemos que el coseno de ambos ángulos sea el mismo, ello nos obliga a que el cateto adyacente mida también lo mismo.
    3. Ambos triángulos rectángulos son congruentes porque tienen la hipotenusa y un cateto iguales y, todos sus ángulos deben ser iguales dos a dos, en particular, α debe ser igual a β

Dos ángulos agudos son distintos si y sólo si su Tangente es distinta

Latex Ayuda
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Para la tangente vamos a hacer un razonamiento diferente basándonos en uno de los resultados ya visto que relaciona la tangente con el coseno de un ángulo RJ.4. Teniendo en cuenta esta relación, podemos depejar la tangente y obtener que, en el caso de un ángulo agudo y ya que el Coseno y la Tangente son siempre valores positivos:
Relaciones tangente coseno[LaTeX]
En consecuencia, si un ángulo agudo determina su Coseno, también su Tangente, e inversamente, si dado el Coseno de un ángulo queda determinado el ángulo, dada su Tangente también porque la tangente determina el Coseno.

Ángulos agudos y sus Razones Trigonométricas

Como hemos indicado al dar las razones de los ángulos de 30º, 45º y 60º, calcular el Seno( α ), Coseno( α ) y Tangente( α ) tiene un ligero problema práctico; no hay una forma sencilla a base de operaciones habituales (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) y partiendo del valor de α, podamos obtener el resultado. De hecho, no hay una manera finita de hacerlo. Son lo que en matemáticas llamamos funciones no algebraicas.

Durante mucho tiempo los estudiantes de Bachillerato y enseñanza superior llevaban siempre consigo un libro lleno de tablas de funciones trigonométricas para "buscar" los valores necesarios ó, mejor dicho, una aproximación a los valores que buscaban. También se han usado las Reglas de cálculo. Desde la aparición de las calculadoras electrónicas, aquellos antiguos libros de tablas y las famosas reglas de cálculo han desaparecido y las máquinas se han convertido en una "herramienta necesaria" si nuestro objetivo es calcular el Seno, Coseno o Tangente de un ángulo o bien si lo que pretendemos es justo la operación inversa, es decir, dado el Seno, el Coseno o la Tangente, obtener el valor del ángulo correspondiente.

Más adelante explicaremos con más detalle el uso de las funcionalidades trigonométricas de la calculadora, ahora, nos vamos a limitar a describir las acciones más simples dedicadas a obtener los resultados que necesitamos para el caso de ángulos agudos:

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Calculo de Senos, cosenos y tangentes de ángulos agudos
Ángulo α (en grados):Teclas de la Calculadora:Calcula:Razones de αCalculadora
SIN Seno(α)= Calculadora
COS Coseno(α)=
TAN Tangente(α)=
Obtención del ángulo agudo a partir de su seno, coseno y/o tangente
Razón Trigonométrica:Valor:Calcula: Teclas de la Calculadora: Ángulo α (en grados): Calculadora
α = Calculadora
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