Potencia e Inversión respecto a una Circunferencia

Vamos introducir aquí varios conceptos clásicos de geometría que han sido "desterrados" de los curriculos de Matemáticas y que aparecen en los de Dibujo Técnico del Bachillerato.

Además de reivindicar su importancia, los introducimos para utilizarlos como ejercicios del uso de la proporcionalidad.

Dados una circunferencia c y un punto P, para cualquier recta r que pase por P y corte a la circunferencia en dos puntos A y B, designando por PA · PB al producto orientado de las medidas de ambos vectores (si tienen el mismo sentido tomamos el producto como positivo, si tienen distinto sentido tomamos el producto como negativo), este producto es constante, sea cual sea la recta r.
Más aún, si la recta es tangente a la circunferencia y, por tanto A=B, el resultado anterior también es cierto.
(RH.1)

La demostración de este resultado puedes verla con detalle en el Applet adjunto.

Como consecuencia, podemos definir:

Potencia de un punto P respecto a una circunferencia c es el producto orientado de los vectores PA y PB siendo A y B los puntos de intersección de una recta cualquiera que pase por P y la circunferencia c, llamando producto orientado al producto de sus medidas con signo positivo si ambos tienen el mismo sentido y con signo negativo si ambos tienen distinto sentido.
(RH.2)

Algunas conclusiones inmediatas de la definición anterior son:

1. La potencia de un punto exterior a una circunferencia siempre es un valor positivo, mayor cuanto más lejos se encuentre el punto de la circunferencia.
2. La potencia de un punto que se encuentre sobre una circunferencia siempre es 0.
3. La potencia de un punto interior a una circunferencia es siempre negativa.
4. El centro de una circunferencia tiene como potencia: -r² siendo r el radio.
5. El punto de menor potencia respecto a una circunferencia es el centro.

Algunas observaciones inmediatas de la definición anterior son:

• Es una transformación simétrica: Si A es inverso de A', A' será inverso de A.
• Si A es un punto de C_r , A' = A. Ya que OA = r, OA' debe ser también r. (Caso trivial))
• Si A = O no tiene inverso ya que OA = 0. Es el único punto del plano que no tiene inverso. (Caso trivial)
• Si A es interior a C_r, como OA < r , OA' debe ser mayor que r y, por tanto, A' es exterior.
• Si A es exterior a C_r, como OA > r, OA' debe ser menor que r y, por tanto, A' es interior.
• La inversión es una transformación que no matiene distancias.

La construcción del inverso de un punto A respecto de una circunferencia puede verse como una aplicación práctica del Teorema del cateto que puedes comprobar en el applet adjunto.

Algunas observaciones que se concluyen de la definición de inversión son:

• Si la recta pasa por el centro de la circunferencia su inversa es ella misma. De manera estricta, la inversa de la recta sería la propia recta sin incluir el punto O. (Recordemos que O es el único punto sin inverso)
• Si la recta no pasa por el centro, su inversa es una circunferencia que sí pasa por el centro.

La demostración del primer caso es sencilla. La del segundo la vemos en el Applet adjunto razonando también en términos de Proporcionalidad y Semejanza y sus consecuencias, en particular del Teorema del Cateto.

Algunas observaciones que se concluyen de la definición de inversión y de los resultados anteriores son:

• Si la circunferencia que queremos invertir pasa por el centro de inversión O, su inversa será una recta: esto se concluye de los hechos ya resaltados de que la inversión es simétrica y de que la inversa de una recta que no pase por el centro de inversión es una circunferencia que si pasa.
• Si la circunferencia que queremos invertir es exterior a la circunferencia de inversión, el resultado será una circunferencia interior. (Respectivamente con interior)
• Si la circunferencia que queremos invertir corta a circunferencia de inversión, el punto, si son tangentes, o los dos puntos de corte si son secantes, son invariantes por la inversión.
• Una observación muy importante es darse cuenta que el inverso del centro de la circunferencia que queremos invertir no es el centro de la circunferencia que resulta de la inversión. Recordemos que la inversión no mantiene distancias.

En el Applet adjunto vemos la manera de obtener el Eje Radical y demostramos que es una recta. Algunas observaciones que se concluyen con facilidad son:

• Si las circunferencias son secantes, el eje radical es la recta que pasa por los puntos de corte. (Los dos puntos de corte tienen potencia 0 respecto a ambas circunferencias, luego deben estar en el Eje Radical)
• Si las circunferencias son tangentes el eje radical es la perpendicular común a ambas circunferencias. (El punto de tangencia común tiene potencia 0 respecto a ambas, luego debe estar en el Eje Radical).
• Cuando dos circunferencias son concéntricas, salvo que sean la misma circunferencia, no puede haber ningún punto que tenga la misma potencia respecto a ambas. Basta pensar que, Si las dos circunferencias son concétricas y A un punto cualquiera, si para calcular la potencia a ambas trazamos la recta que une A y el centro, es imposible que las potencias coincidan.