El número aúreo o número de Oro

El número aúreo, número de oro es uno de los tres famosos números que tiene como nombre, una letra:

• El número π del que hablaremos más adelante.
• El número e.
• El número aúreo: φ ó Φ :
  LaTeX

El motivo de ello es que son números irracionales y tienen y han tenido una importancia capital en las matemáticas.

Que un número sea irracional quiere decir que no se puede expresar como razón de dos números enteros; lo que es equivalente a decir que tiene infinitos decimales y que, además, esos infinitos decimales no responden a ninguna regla de repetición, no tiene periodo.

La importancia de la divina proporción se ha plasmado a lo largo de la historia en artes plásticas y en la arquitectura. Históricamente se la ha considerado la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.

La introducimos aquí como un exponente importante en la aplicación de la proporcionalidad.

Aparece en el Libro VI de las Elementos de Euclides la siguiente definición:

Se dice que un segmento ha sido cortado en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.

Otra manera de expresarlo sería: El todo es a la parte mayor como ésta es a la menor

Traduzcamos la definición anterior a lenguage algebraico observando la relación entre los dos segmentos que hemos obtenido en la división:

1. Consideremos un segmento de longitud l
2. Lo dividimos en dos partes a una de las cuales, la mayor, la llamamos a y la menor b.
3. El segmento total es pues de longitud a + b
4. El segmento total es al segmento mayor como el segmento mayor es al menor:
   LaTeX

Algunas observaciones numéricas muy interesantes de φ son:
LaTeX
(RG.3)

La manera clásica de dividir un segmento en Media y Extrema razón es una aplicación rápida del Teorema de Pitágoras: Un triángulo rectángulo cuyo cateto menor sea la mitad del cateto mayor b cumple que, la hipotenusa, es: (b√5)/2 .
Lo vemos en el Applet adjunto.

Llamamos rectángulo aúreo a aquél en el que la razón entre el lado mayor a y el lado menor b es la razón aúrea:
LaTeX

Los Rectángulos Aúreos tienen la siguiente propiedad:

Lo comprobamos el el Applet adjunto, aunque es una concluisión inmediata de los visto en (RG.2)

En los próximos apartados vamos a ver la manera de construir un rectángulo aúreo conocido su lado menor. El proceso de construir un rectángulo aúreo conocido su lado mayor lo dejamos como ejercicio aunque es muy sencillo ya que, hemos visto que, si dividimos un segmento en media y extrema razón, el segmento dado es al fragmento mayor (media razón) como éste es al fragmento menor (extrema razón). En consecuencia, dado el lado mayor de un rectángulo aúreo, lo dividimos en media y extrema razón y el fragmento mayor será el lado menor del rectángulo aúreo buscado.
Además, utilizando la propiedad de los rectángulos aúreos que acabamos de enunciar, podemos también construir un rectángulo aúreo a partir de su lado mayor de la siguiente forma:

• Construimos el rectángulo aúreo que tiene el segmento dado como lado menor.
• Le quitamos el cuadrado determinado por el lado menor
• El rectángulo que queda es el que buscábamos que tiene al segmento dado como lado mayor.

El problema consiste en, dado un segmento, obtener otro de modo que la razón entre éste último y el dado sea la razón aúrea.
El proceso de construcción que describimos en el Applet adjunto consistirá en:

• Construir un triángulo rectángulo con el segmento dado y su mitad.
• A la diagonal de este triángulo le sumamos la mitad del segmento dado.
• El segmento así obtenido es al dado como la razón aúrea.

Si analizamos en detalle este proceso de construcción que describimos en el Applet adjunto podemos ver que, hacemos lo mismo que en el proceso anterior:

• Construimos un triángulo rectángulo con el segmento dado y su mitad.
• A la diagonal de este triángulo le sumamos la mitad del segmento dado
• El segmento obtenido es al dado como la razón aúrea.

El Pentágono regular y el número aúreo tienen una relación muy estrecha ya que podemos encontrar la razón aúrea entre de varios de los elementos implicados en él. En particular hemos detallado los dos casos más interesantes que son básicos para justificar las construcciones del Pentágono regular dado el lado y dado el radio.

La demostración de lo que buscamos la vemos gráficamente y comentada en el Applet adjunto razonando en términos de Ángulos , Proporcionalidad y Semejanza de triángulos.

Cualquier triángulo cuyos ángulos sean 108º, 36º y 36º, se llama Triángulo aúreo Mayor y verificará que la relación entre su lado mayor y cualquiera de los otros dos es la razón aúrea.
(RG9.a)

La conclusión es evidente a partir del resultado anterior ya que, la diagonal de un Pentágono regular forma, con los lados del Pentágono, un triángulo cuyos ángulos son 108º, 36º y 36º.

Cualquier triángulo cuyos ángulos sean 36º, 72º y 72º, se llama Triángulo aúreo Menor y verificará que la relación entre cualquiera de sus lados mayores y su lado menor es la razón aúrea.
(RG9.b)

También la conclusión es inmediata a partir del resultado anterior y lo vemos en el Applet adjunto.

En un Pentágono regular se pueden encontrar muchas relaciones aúreas. Ya hemos mencionado la existente entre la diagonal y el lado . Vamos ahora a destacar dos relaciones interesantes que nos permitirán, entre otras cosas, justificar uno de los procedimientos habituales de construcción del Pentágono regular dado el radio.

Acabamos de ver que, en un pentágono regular, la diagonal y el lado están en proporción aúrea.
También hemos visto la manera de construir un rectángulo aúreo dado el lado menor.
Si disponemos ahora del lado del pentágono, la diagonal coincidirá con el lado mayor de un rectángulo aúreo de lado menor igual al lado del pentágono.
Una vez tenemos ambas medidas, la construcción del pentágono partiendo del lado es inmediata y, éste es el método de construcción usado en los ejercicios de Dibujo.
En el Applet adjunto vemos el método de construcción comentado y observaremos que coincide con lo que acabamos de exponer.

Este proceso constructivo se basa en las relaciones, ya vistas, RG.10a y RG10.b.
La utilización de ambos resultados hace el poceso más elegante aunque, también sería posible la construcción utilizando sólamente RG.10b

• Partimos de un radio de la circunferencia en la que vamos a inscribir el pentágono.
• Construimos un segmento de modo que la razón del mismo con el radio sea la razón aúrea.
• Hecho esto, es inmediato dibujar el pentágono buscadocomo vemos detalladamente el el Applet adjunto