Teoremas derivados de Thales

Vamos a demostrar algunos teoremas interesantes sobre triángulos, rectángulos o no, a partir del Teorema de Thales.

Estos resultados los volveremos a tratar al hablar de Trigonometría y, entonces haremos nuevamente alusión a una idea que ronda desde el principio nuestro desarrollo:

Puedes observar que, en muchas de las ocasiones que representemos un triángulo rectángulo lo haremos colocando la hipotenusa como base y, su ángulo opuesto, el ángulo recto (90º), aparece como un ángulo que abarca media circunferencia. Esta representación puede resultar más últil y nos puede ayudar a visulizar mejor ciertas relaciones de semejanza que, de otra manera, se verían con más dificultad.

La demostración, que podemos ver detalladamente en el Applet adjunto, se basa en que los triángulos ACE , ABC y CBE son semejantes porque tienen dos ángulos iguales y, en consecuencia, sus lados son proporcionales.

En un triángulo rectángulo se cumple:
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

[LaTeX]
(RF.2)

La demostración, que puedes visualizar en el Applet adjunto, se basa en el teorema del cateto sin más que sumar las expresiones que hemos obtenido para cada cateto y observar que, las suma de las proyecciones de los cateros sobre la hipotenusa, coinciden con la propia hipotenusa:
[LaTeX]

En un triángulo rectángulo se cumple:
La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que divide a la hipotenusa.
[LaTeX]
Si llamamos E al pie de la altura trazada desde el vértice C al lado AB o su prolongación:
[LaTeX]
(RF.3)

La demostración puedes visualizarla en el Applet adjunto y se basa exactamente en el mismo principio que nos permitió demostrar el Teorema del Cateto, el hecho de que los triángulos ACE y BCE son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.

A diferencia de los resultados anteriores que nos servían únicamente para triángulos rectángulos, el que vamos a enunciar aquí es válido para todo tipo de triángulos y tendrá un importancia fundamental en la Trigonometría.

En un triángulo cualquiera se cumple:

La demostración la vemos en el Applet adjunto y consiste en lo siguiente:

• Tracemos la altura que parte del vértice C y llamemos H al pie de la misma sobre el lado AB o sobre su prolongación.
• Como la altura es perpendicular a la línea de la base, tenemos dos triángulos rectángulos formados respectivamente por los vértices ACH y BCH.
• Aplicamos a cada triángulo el Teorema de Pitágoras.
• Expresamos: BH en función de AB y de AH
• Operamos.