Construcciones derivadas de la proporcionalidad

Hay muchas construcciones clásicas con regla y compás basadas en la Proporcionalidad.

Sin duda una de las más conocidas es la división de un segmento en n-partes iguales, sin embargo, vamos a mostrar otras que siempre han formado parte de la Geometría y que hoy han desaparecido del mundo escolar de las Matemáticas para pasar al mundo escolar del Dibujo Técnico,como ha pasado con algunas cuestiones ya vistas como el arco capaz. Entre ellas tenemos:

• Construcción de la cuarta proporcional
• Construcción de la tercera proporcional
• Construcción del segmento producto de otros dos
• Construcción del segmento cociente de otros dos
• Construcción de la media proporcional
• Construcción del segmento raíz cuadrada de uno dado

Una vez realizado el dibujo es fácil comprobar, directamente por relaciones de proporcionalidad o indirectamente a través de triángulos semejantes, que el segmento construido cumple lo que queremos.

En el Applet adjunto vemos paso a paso el procedimiento constructivo y su justificación matemática.

La Tercera Proporcional es un caso particular de Cuarta Proporcional en el que, los dos valores intermedios son iguales.

Su construcción la vemos en el Applet adjunto y es la misma que la de la Cuarta Proporcional tomando como iguales los valores intermedios de la proporción.

Otro resultado derivado de la Cuarta Proporcional, es la construcción del segmento producto de otros dos dados.

Observa la expresión anterior de la Cuarta Proporcional e imagina que a es la unidad y que b y c son los números que quieres multiplicar.

En el Applet adjunto vemos el proceso.

Una nueva consecuencia de la Cuarta Proporcional es la del segmento cociente de otros dos dados.
Comentamos entonces que se llamaba cuarta proporcional a cualquiera de los términos de una proporción. El proceso constructivo lo hicimos para el denominador de la segunda razón pero dijimos que sería un ejercicio interesante efectuar la construcción para los demás términos pues se trataba de una pequeña variante.
Ahora colocamos los dos segmentos de los que queremos calcular su cociente en la primera razón: a/b y en la regunda razón colocamos como denominador la unidad:
[LaTeX]
El objetivo es construir el numerador de la segunda razón y vemos el proceso en el Applet adjunto.

La situación cambia ahora ligeramente sobre las construcciones anteriores y, el proceso es diferente. Lo vemos en el Applet.

Una consecuencia casi inmediata que se deriva de la Media proporcional es la construcción del Segmento Raíz cuadrada de uno dado. Basta hacer que uno de los segmentos de los que queremos calcular la media proporcional sea la unidad, por ejemplo b= u y obtenderemos lo que queremos.

Esta es quizá la conclusión más evidente del Teorema de Thales que puedes visualizar en el Applet adjunto.
El proceso consiste en:

• trazar una semirecta a partir de un vértice del segmento que queremos dividir de modo que forme un ángulo cualquiera con el mismo.
• En esta semirecta, comenzando desde su origen, hacemos tantas divisiones iguales de medida arbitraria como partes queraos hacer en nuestro segmento.
• Unimos el último punto obtenido en la semirecta auxiliar con el otro extremo del segmento inicial mediante una recta s.
• Realizamos la proyección paralela a s desde la semirecta auxiliar al segmento inicial y obtendremos lo que buscamos.