Proporcionalidad. Teorema de Thales

Las nociones de Proporcionalidad son básicas en cualquier desarrollo geométrico y, como veremos, son la base de los conceptos trigonométricos. Las razones trigonométricas de un ángulo son una consecuencia directa de la idea de proporcionalidad, más aún, son la forma de hacer explícitas algunas de las relaciones de proporcionalidad más inmediatas. Precisamente ésta es la causa por la que se les llama razones trigonométricas. En matemáticas la palabra razón hace alusión a una fracción y proporción a una igualdad de fracciones (razones).
Si observamos con atención estos conceptos y cómo se manejan, llegaremos a la conclusión, más adelante, de que:
La trigonometría simplemente va a consistir en pasar a forma numérica las razones de proporcionalidad geométrica .

Definición:
Se llama Proyección Paralela a la recta s sobre la recta r de un Punto C, al punto C' intersección entre la recta paralela a s por C y la recta r.
(RC.1)

Si lo que pretendemos proyectar, en vez de un punto, es un segmento AB, el resultado de la proyección será el segmento que se obtenga de unir las proyecciones de sus extremos A' y B'.

Cuando en la definición anterior las rectas r y s son perpendiculares (ortogonales) hablamos de proyección ortogonal sobre r.
(RC.2)

En el Applet adjunto puedes verificar el Teorema de manera gráfica.

Como consecuencia del Teorema anterior podemos concluir que, si r y r' son dos rectas que se cortan en un punto O ; si A es un punto sobre r y A' una proyección de A sobre r'; si r'' es una recta paralela a r por A; si B es un punto sobre r y C y B' son el resultado de una proyección de B sobre r'' y sobre r' respectivamente, entonces: La demostración de todas las igualdades anteriores se deriva del Teorema de Thales. En el Applet adjunto lo podemos trabajar.

También se cumple que, si r y r' son dos rectas que se cortan en un punto O ; si A es un punto sobre r y A' una proyección de A sobre r' ; si r'' es una recta paralela a r por A ; si B es un punto sobre r y C y B' son el resultado de una proyección de B sobre r'' y sobre r' respectivamente, entonces: La demostración de todas las igualdades anteriores se deriva del Teorema de Thales y del Corolario anterior, sin más que cambiar el punto de vista.

Si r y r' son dos rectas que se cortan en un punto O; si A es un punto sobre r y A' una proyección de A sobre r' ; si r'' es una recta paralela a r por A ; si B es un punto sobre r y C y B' son el resultado de una proyección de B sobre r'' y sobre r' respectivamente, entonces: Esta demostración se deriva de los dos Corolarios anteriores.