Triángulos: rectas fundamentales

Introducción

Siendo el Triángulo el elemento central de la Trigonometría, bien merece que le dediquemos un poco más de tiempo. Sobre los triángulos se pueden estudiar infinidad de resultados geométricos pero, sin duda, los más clásicos tienen que ver con sus rectas y puntos fundamentales:

Mediatrices y Circuncentro.
Bisectrices e Incentro.
Alturas y Otocentro
Medianas y Baricentro.

Con lo que sabemos hasta hora es fácil trabajar casi todos estos elementos.

En un triángulo: a lados iguales se oponen ángulos iguales


[Applet]	[ Zoom ]	[ Latex ]	[ Ayuda ]

Algunas cuestiones que podemos deducir del estudio de la Congruencia de Triángulos:

Un triángulo es Isósceles si y sólo si tiene dos ángulos iguales, en particular, los ángulos opuestos a los lados iguales.
Un triángulo es Equilátero si y sólo si tiene los tres ángulos iguales.
Podríamos concluir de manera general que, en un triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales y a lados distintos se oponen ángulos distintos.

( RBA.1)

En el Applet adjunto se justifica el caso del Triángulo Isósceles pero, como podrás ver, el proceso se generaliza de manera sencilla al caso del Triángulo Equilátero. La conclusión de que a lados iguales se oponen ángulos iguales y viceversa, es inmediata.

Mediatrices: Circuncentro, Circunferencia circunscrita


[Applet]	[ Zoom ]	[ Latex ]	[ Ayuda ]

Llamamos Mediatriz de triángulo a cualquiera de las mediatrices de sus lados Las tres Mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que llamamos Circuncentro que es el centro de la circunferencia que pasa por sus tres vértices a la que llamamos Circunferencia Circunscrita.

La justificación del resultado anterior la vemos en el Applet adjunto.

Como conclusión podemos afirmar que: por tres puntos no alineados pasa una única circunferencia.
La circunferencia será la Circunscrita al triángulo que forman y, el hecho de que sea única lo podemos deducir fácilmente del proceso de construcción en el Applet adjunto.

Bisectrices: Incentro, Circunferencia inscrita


[Applet]	[ Zoom ]	[ Latex ]	[ Ayuda ]

Llamamos Bisectriz de triángulo a cualquiera de las bisectrices de sus ángulos Las Bisectrices de un triángulo se cortan en un punto que llamamos Incentro que es el centro de la circunferencia que, siendo interior al triángulo, es tangente a sus tres lados, a la que llamamos Circunferencia Inscrita

Alturas: Ortocentro


[Applet]	[ Zoom ]	[ Latex ]	[ Ayuda ]

Llamamos Altura de un triángulo a la perpendicular a la recta que determina un lado desde el vértice opuesto al mismo. En un triángulo hay pues, tres alturas.

El punto de corte de la Altura con el lado se llama Pie de la altura.

Según el contexto podemos hablar de base de un triángulo refiriéndonos a uno de los lados sobre el que lo suponemos apoyado y altura del triángulo al segmento determinado por el vértice opuesto a la base y el pie de la recta altura sobre él.

Hay que observar que, la altura de un triángulo puede caer fuera de la base correspondiente.

Se puede demostrar que las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado Ortocentro. En el Applet adjunto lo comprobamos, sin demostrarlo.

Medianas: Baricentro


[Applet]	[ Zoom ]	[ Latex ]	[ Ayuda ]

Llamamos Mediana de un triángulo a la la recta determinada por un vértice y el punto medio del lado opuesto. En un triángulo hay pues, tres medianas.

Las tres Medianas de un triángulo se cortan en un punto interior del mismo que llamamos Baricentro.

Además, si X es cualquiera de los vértices, M_x el punto medio del lado opuesto y G el Baricentro, se cumple que: XG = 2GM_x