Ángulos inscritos y semiinscritos de una circunferencia

Introducción

La circunferencia es un elemento auxiliar fundamental en el estudio de la Trigonometría y hay muchos resultados importantes relacionados con ella.

En nuestro desarrollo vamos a hacer explícitos algunos de ellos que tienen un especial interés y, concretamente, vamos a hablar de la relación entre el radio y la longitud de la circunferencia, entre un ángulo central y el arco que abarca, entre ángulos centrales, inscritos y semiinscritos. Explicaremos también la idea de arco capaz que se deriva de estas relaciones. Así mismo, una conclusión inmediata a la que puedes llegar sin mucho esfuerzo es la manera de dibujar un triángulo rectángulo partiendo de una circunferencia, sin necesidad de trazar un perpendicular (tarea mucho más costosa).

Definición de ángulo central, inscrito y semiinscrito


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Definición:

Se llama Ángulo inscrito en una circunferencia a cualquier ángulo que tenga su vértice en la circunferencia y que, cada una de las semirectas que constituyen sus lados sea secante a la circunferencia.
(RB.1a)
Se llama Ángulo semiinscrito en una circunferencia a cualquier ángulo que tenga su vértice en la circunferencia, una de las semirectas que determina sus lados sea tangente a la circunferencia y la otra sea secante.
(RB.1b)
Se llama Ángulo central en una circunferencia a cualquier ángulo que tenga su vértice en el centro de la circunferencia y que se forme con 2 semirectas con origen en él.
(RB.1c)

El ángulo central es proporcional al arco que abarca


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En toda circunferencia, el tamaño de un arco es proporcional al tamaño del ángulo central que lo abarca.

Como casos particulares, El arco de media circunferencia mide la mitad de la circunferencia entera ó, el arco de un cuarto de circunferencia mide la cuarta parte de la circunferencia entera.

Dada una circunferencia L, si llamamos L_α a la longitud de un arco que es abarcado por un ángulo cental α, entonces, hay una constante t de modo que:
L_α = t · α.
El valor de la constante dependerá de la unidad en la que estemos midiendo los ángulos.
(RB.2)

Ángulos inscritos y ángulos centrales


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En una circunferencia siempre se cumple la siguiente relación entre los ángulos inscritos y los centrales:

"Un ángulo central β que abarca el mismo arco que un ángulo inscrito α, es el doble de α. Es decir: β = 2·α.
(RB.3)

La demostración, que se basa simplemente en el principio de que los ángulos de un triángulo suman dos rectos, la podemos trabajar y comprender en el Applet adjunto.

Corolarios del resultado anterior


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Sin más que pensar un poco, el resultado anterior nos permite concluir algunas cuestiones curiosas que puedes comprobar en el Applet adjunto:

Cualquier ángulo inscrito que abarque media circunferencia es un ángulo recto, ya que su ángulo central correspondiente es llano (180º).
Si trazamos un cuerda en una circunferencia, llamamos B y C a sus puntos de corte con la circunferencia y A es un punto cualquiera de la circunferencia, mientras el punto A se mueva en el mismo lado de la cuerda, el ángulo determinado por BAC, siempre valdrá lo mismo, ya que el ángulo central correspondiente no varía.
Si trazamos un cuerda en una circunferencia que no sea un diámetro y llamamos B y C a sus puntos de corte con la circunferencia; tomando un punto cualquiera de la circunferenica a un lado de la cuerda A y otro punto al otro lado de la cuerda A', el ángulo determinado por BAC y el determinado por BA'C son suplementarios ya que sus ángulos centrales correspondientes hacen un ángulo completo (360º).
(RB.4)

Polígonos regulares. Ángulos


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Definimos un polígono regular de n-lados a aquél que se obtiene llevando una distancia fija n-veces a lo largo de una circunferencia, terminando el el mimo punto que empezamos.

Así definido un poligono regular de n-lados se puede dividir en n triángulos isósceles todos con un vértice común O el centro de la circunferencia y cada uno de ellos con un lado común con cada uno de los triángulos a su derecha e izquierda respectivamente.

Cada ángulo central será el resultado de dividir 360º entre el número de lados del polígono.
Cada ángulo interior es un ángulo inscrito que abarca lo mismo que el ángulo central correspondiente a n-2 lados

Ángulos semiinscritos y ángulos centrales


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En una circunferencia siempre se cumple la siguiente relación entre los ángulos semiinscritos y los centrales:

"Un ángulo central β que abarca el mismo arco que un ángulo semiinscrito α, es el doble de α. Es decir: β = 2·α.
(RB.5)

La demostración, que se basa simplemente en el principio de que los ángulos de un triángulo suman dos rectos, la podemos trabajar y comprender en el Applet adjunto.

Arco capaz


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Consideremos un segmento con extremos A y B. Sea C un punto a un lado del segmento. Si unimos C con A y C con B, obtenemos un ángulo. Además de C, y a su mismo lado del segmento, existen muchos puntos D que, al unirlos con A y B, determinan un ángulo que vale lo mismo que el anterior.

Definición:

Arco Capaz de un ángulo α sobre un segmento AB es el arco de circunferencia que determinan los puntos D que se encuentra al mismo lado del segmento y que cumplen que el ángulo que se forma al unir el punto D con A y el punto D con B, vale lo mismo que α.
(RB.6)

En el Applet adjunto se puede observar el proceso de construcción y, una vez construido, observar que el resultado (RB.4 - 2) garantiza que todos los puntos del arco verifican la condición buscada y que, si un punto está fuera del arco encontrado, no la verificará.


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