Ángulos. Relaciones entre Ángulos y Lados del Triángulo

Vamos a comenzar nuestro periplo del Ángulo a la Trigonometría.

La idea inicial de estos materiales fue hacer un desarrollo visual y manipulable de los conceptos trigonométricos más habituales en la enseñanza secundaria que sirviesen al alumno para comprender y ver la Trigonometría. LaTrigonometría es la parte de las matemáticas que estudia la medida de los tres ángulos (Triángulo): las relaciones entres sus ángulos, sus lados, ....

Pero la mayor parte de las relaciones y resultados que se estudian en Trigonometría se basan en algunos principios básicos de Geometría y, fundamentalmente, en la Proporcionalidad. Ello nos llevó a comenzar un poco antes e ir introduciendo cuestiones básicas relacionadas con ángulos y triángulos, con proporcionalidad, ....

Además, para la mayoría de los alumnos de secundaria, muchos conceptos y procedimientos geométricos que siempre han sido competencia de la Matemática, son ahora vistos como Dibujo Técnico y, en muchos casos, sin sus justificaciones formales. Por ello hemos introducido muchos resultados auxiliares, necesarios o no, que acercasen la Geometría Plana a las Matemáticas, su lugar natural.

Hemos procurado que una premisa básica esté siempre presente y guíe muchos de nuestros procesos para comprender mejor los conceptos y resultados que estudiamos:

En esta línea, dedicaremos más adelante un tema a algunos trazados básicos con regla y compás. Recordaremos así a los maestros griegos y sus sencillas herramientas de trabajo.

Ver la geometría y, en este caso, la Trigonometría, tiene una gran utilidad en la comprensión de los conceptos que se están estudiando.

Recogemos aquí la nomenlatura para algunos de los tipos de ángulos más usuales y vamos a hacerlo de una manera muy parecida a la realizada por los matemáticos griegos, concretamente a la recogida por Euclides en torno al año 300 a.C. (antes de Cristo): Puedes visualizar estos tipos de ángulos con más amplitud en el Applet adjunto.

Los matemáticos griegos disponía de dos elementos fundamentales con los que trabajar: "La regla y el compás". Curiosamente, el ángulo primero que hemos definido y que sirve como referencia para clasificar los demás es un ángulo que se puede "construir" usando sólo regla y compás ya que el trazado de una perpendicular a una recta dada es una construcción elemental, como veremos más adelante.

La manera más extendida en nuestro entorno para dar la medida de los ángulos se basa en el principio de definir: Lo más probable es que esta división tan arbitraria de 360 partes tenga que ver con la medida del tiempo y el hecho observado de que el movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol (o del Sol alrededor de la Tierra como se pensó y defendió en algún momento) duraba aproximadamente 360 días. Con ello, un grado sería una aproximación del ángulo que se recorría en el periodo de un día en ese movimiento de traslación.
Un ángulo llano (el correspondiente a una semicircunferencia) mide pues 180º y un ángulo recto (el correspondiene a 1/4 de circunferencia) mide 90º.

Sin embargo, la palabra Sexagesimal la motiva el hecho de que, cada grado se divide en 60 minutos y a cada minuto en 60 segundos.

La popularización de esta medida contrasta con la "dificultad" de dibujar un ángulo de un grado sexagesimal si no tengo un instrumento de medida adecuado (un transportador de ángulos, por ejemplo). Si nos limitamos a manejar sólo regla y compás, no es posible hacerlo.

Como hemos indicado, la división en 360 partes tiene una motivación histórica pero es totalmente arbitraria y, de hecho, con ser la más extendida, no es la única que se usa.

La otra medida de ángulos más usual, el Radián, la introduciremos más adelante.

Hay algunas situaciones geométricas habituales que nos dan ángulos iguales:

• Ángulos opuestos por el vértice : los dos ángulos que se oponen por el vértice formados al cortarse dos rectas, son iguales.
• Si dos rectas paralelas r y r' las cortamos con una recta perpendicular s, los ocho ángulos que se forman son iguales porque son rectos.
• Si dos rectas paralelas r y r' las cortamos con una recta secante s:
  1. Los cuatro ángulos agudos que se forman son iguales.
  2. Los cuatro ángulos obtusos que se forman son iguales.

Un resultado conocido por todos y que es básico en el desarrollo de los problemas trigonométricos es:

Su demostración es muy sencilla y no necesitamos una unidad de medida para coseguirlo, es decir, vemos directamente que la suma de los ángulos del triángulo es un llano. La referencia a que suman 180º la hacemos por ser el grado sexagesimal la unidad más habitual para medirlos.

Basta prolongar un lado (por ejemplo, el lado AC), trazar la recta paralela al lado AB por el vértice C y observar los ángulos que se forman en este último vértice (C).

Todos tenemos el concepto intuitivo de medida y todos sabemos que, para "medir" es necesario fijar una unidad.

Desde el punto de vista de la Geometría clásica, las comparación de medidas de segmentos se determina por el compás.

La demostración gráfica de esta propiedad es muy simple. Para cada uno de los lados que llamaremos lado base, efectuemos la siguiente operación:

• Por cada uno de sus extremos tracemos la circunferencia de centro ese extremo y radio el otro lado que parte de él.
• Si ambas circunferencias no se cortan, la suma de los otros dos lados no alcanza el tamaño del lado base y no hay triángulo.
• Si ambas circunferencias son tangentes, su punto de tangencia estará sobre el lado base y la suma de los tros dos lados será igual al lado base; no habrá triángulo
• Si ambas circunferencias se cortan habrá triángulo pero ésto sólo sucede si la suma de los otros dos lados es mayor que el lado base.