Congruencia de Triángulos

Muchos de los problemas de la trigonometría consisten en la resolución de un triángulo. Resolver un triángulo es, definirlo de manera unívoca, es decir, dar la medida de sus 3 lados y de sus tres ángulos. Así pues, es fundamental cuántos y cuáles de los elementos de un triángulo son necesarios para que éste quede determinado.

Hemos hablado en el tema anterior de medida de ángulos y todos manejamos de manera intuitiva el concepto de medida. También hablamos de ángulos iguales o congruentes como aquellos que somos capaces de, moviendo uno de ellos sin deformarlo, superponerlo hasta hacerlo coincidir con el otro. Esta idea la ampliamos a la media de segmentos sin mucha dificultad.

Intuitivamente podemos entender muy bien que, para mover un objeto cualquiera (ángulo, segmento, triángulo, circunferencia, ...) sin deformarlo, podríamos, entre otras cosas, hacer movimientos de los siguientes tipos:

• Trasladarlo de lugar. (Esto es lo que en matemáticas llamamos una Traslación)
• Girarlo alrededor de un punto de cualquier forma. (Esto es lo que en matemáticas llamamos un Giro)
• Invertirlo, obtener su simétrico, respecto de una recta cualquiera. (Esto es lo que en matemáticas llamamos una Simetría Axial)

El haber considerado estos tres tipos de "movimientos" no ha sido una cuestión de azar y tienen una justificación matemática rigurosa, pero desde el punto de vista que nos ocupa, nos basta con entender que éstos son movimientos que no deforman.

En la definición anterior la congruencia de triángulos se representa mediante tres rayas horizontales y, en el caso de los ángulos y de los lados, las tres rayas horizontales indican que , moviendo uno de ellos sin deformarlo se puede superponer sobre el otro para hacerlos coincidir ("miden lo mismo").
Una manera de visualizar lo que son dos triángulos congruentes es pensar que lo serán siempre que sea posible recortar uno de ellos, levantarlo y moverlo hasta hacerlo coincidir exactamente con el otro. Es decir, si lo podemos mover sin deformar hasta que se superpongan.
En realidad, podríamos hablar de triángulos iguales y, según el contexto, así será. Sin embargo, dos triángulos pueden ser congruentes y estar colocados en distinto sitio del plano. Si en un problema determinado la ubicación exacta del triángulo es fundamental, queda claro que no podemos hablar de manera precisa de igualdad.

Intuitivamente podemos entender muy bien que, para mover un triángulo sin deformarlo podríamos, entre otras cosas, hacer movimientos de los tres tipos mencionados en la Introducción del tema:

• Trasladarlo de lugar: por ejemplo, arrastrándolo desde uno de sus vértices.
• Girarlo alrededor un punto de cualquier forma: en partircular, si lo hacemos girar sobre uno cualquiera de sus vértices.
• Invertirlo, obtener su simétrico respecto de una recta cualquiera: en particular si le damos la vuelta sobre la recta que determina uno de sus lados.

Como trabajamos en el Applet adjunto, con estos movimientos, si dos triángulos tienen los lados y los ángulos respectivamente iguales, conseguiremos superponerlos haciéndolos coincidir.

En los siguientes apartados vemos que, para que 2 triángulos sean congruentes nos basta con observar algunas coincidencias entre sus elementos y no es necesario comprobar que tanto los 3 lados como los tres ángulos miden lo mismo dos a dos.

Vamos a contruir un triángulo del que conocemos dos lados y el ángulo comprendido y veremos que el proceso nos da un único resultado salvo movimientos que no deforman.

En el Applet adjunto trabajamos esta construcción como sigue:

• Nuestro primer paso de construcción es fijar un punto donde empezar el dibujo, un vértice del triángulo. Este será único salvo desplazamientos.
• Vamos a dibujar ahora el primero de los lados. Como tenemos su medida y el punto origen C, las posibilidades para dibujarlo quedan definidas por la circunferencia de centro C y radio su tamaño. (Es único salvo un giro que no deforma)
• Conocemos el ángulo comprendido entre los dos lados y tenemos un lado fijado, así que dibujemos el ángulo sobre el lado. Aquí tenemos dos posibilidades para llevar el ángulo, orientación contraria a las agujas del reloj o, al revés.
• Del otro lado tenemos su longitud y, entre ambos lados debe quedar comprendido el ángulo.
• Uniendo ahora los extremos no comunes de los lados dados, queda dibujado el triángulo.

Como en el caso anterior, construyamos mediante el Applet y veremos que sólo se puede dibujar un triángulo, salvo movimientos en el plano (desplazar, girar, invertir -simetria axial-).

Una consecuencia inmediata de este resultado es el siguiente:

Basta observar que, si tienen 2 ángulos respectivamente iguales, tienen los tres porque su suma es dos rectos. Y ahora, el lado igual lo podemos ver como el lado comprendido entre dos ángulos iguales.

Una vez más, construyamos mediante el Applet y veremos que sólo se puede dibujar un triángulo, salvo movimientos en el plano (desplazar, girar, invertir -simetria axial-).

En esta ocasión el proceso de construcción hace envidente el resultado que ya conocemos de que en un triángulo, la suma de dos cualesquiera de los lados tiene que ser mayor que el tercero.

Este caso es el más complejo de los cuatro y, como vamos a ver en el proceso de construcción, si nos dan dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, podemos encontrar situaciones en las que hay dos posibles triángulos como respuesta que no son congruentes entre si, pero si además sabemos que el ángulo opuesto al otro lado conocido es menor o igual que 90º, sólo encontraremos uno. Respectivamente, si conocemos que el ángulo opuesto al otro lado es obtuso, sólo habrá una solución.

Teniendo en cuenta que, si conocemos dos ángulos de un triángulo, conocemos el tercero, porque su suma es 2 rectos, con el valor de dos ángulos no determinamos un único triángulo.

Sirva como ejemplo la construcción del Criterio 2: conocidos dos ángulos y el lado comprendido. Si variamos el tamaño del lado comprendido estaremos obteniendo triángulos no congruentes pero que sus ángulos son respectivamente iguales.

Manipula el Applet adjunto para comprobarlo.

Los triángulos rectángulos tienen una importancia fundamental en el estudio de la Trigonometría. Como corolario de los apartados anteriores, y teniendo en cuenta que, en un triángulo rectángulo siempre conocemos el valor de un ángulo que es recto y los otros dos ángulos son agudos, tenemos:

1. Dos triángulos rectángulos con los catetos respectivamente iguales, son congruentes. (Inmediato por el Criterio 1)
2. Dos triángulos rectángulos con un cateto y el ángulo agudo adyacente respectivamente iguales, son congruentes. (Si conocemos un ángulo agudo conocemos los tres ángulos; además conocemos un cateto luego se puede aplicar el Criterio 2)
3. Dos triángulos rectángulos con un cateto y la hipotenusa respectivamente iguales, son congruentes.(El ángulo recto es opuesto a la hipotenusa y los otros dos ángulos son agudos, luego se puede aplicar el Criterio 4)
4. Dos triángulos rectángulos con un cateto y el ángulo opuesto iguales, son congruentes.(Si conocemos un ángulo agudo conocemos los tres ángulos; además conocemos un cateto luego se puede aplicar el Criterio 2)
5. Dos triángulos rectángulos con la hipotenusa y un ángulo agudo iguales, son congruentes.(Si conocemos un ángulo agudo conocemos los tres ángulos; además conocemos la hipotenusa luego se puede aplicar el Criterio 2)

Estos resultados nos llevan a la siguiente conclusión: