GEOGEBRA COMO RECURSO DIDÁCTICO
Seminario de Actualización en Matemáticas
UR, 20 de Febrero de 2008

Prólogo

• ¿Geogebra?

  • ¿Qué es Geogebra?

    GeoGebra: es un software libre escrito en Java y, por ello, disponible en múltiples plataformas (Sistemas operativos). Está diseñado para interactuar dinámicamente en un ámbito en que se reúnen la Geometría, el Algebra y el Análisis o Cálculo. Puede ser usado para Matemáticas, Fisica, Dibujo Técnico,... Fue especialmente diseñado para utilizarlo en la enseñanza a nivel de la escolaridad media.
    Su creador, Markus Hohenwarter, comenzó el proyecto en el año 2001 en la Univesidad de Salzburgo y lo continúa en la Universidad de Atlantic, Florida.
    Su categoría más cercana es "software de geometría dinámica" pero supera ámpliamente las limitaciones de esta categoría. En GeoGebra puedes hacer construcciones con puntos, segmentos, líneas, cónicas -mediante el ratón o con instrucciones en el teclado-, y todo eso modificable en forma dinámica: es decir que si algún objeto depende B de otro A, al modificar A, también se actualiza B. Pero también puedes definir funciones reales de variable real, calcular y fraficar sus derivadas, integrales, etc...

    • ¡Veamos cómo es!

      La última actualización es: Geogebra 3.0 (RC 5) de 10 de Febrero de 2008.
      

  • ¿Como lo consigo?

    
    GeoGebra es un software libre bajo licencia GNU que puedes descargar en su página web de referencia http://www.geogebra.org.

    Aquí podrás encontrar:

    • El software para descargar casi para cualquier plataforma y sistema operativo.
    • La ejecución Web Start para si no quieres instalarlo en el ordenador sino ejecutarlo en línea siempre con la última versión disponible.
    • Ayuda de todo tipo en infinidad de idiomas.
    • Ejemplos variados para que veas sus posibilidades.
    • Geogebra Wiki
    • Soporte
    • ...

  • ¿Qué necesito para que Geogebra funcione en mi ordenador?

    
    GeoGebra es un software hecho en lenguaje Java y, por tanto, necesitamos el software de Java instalado previamente en nuestro ordenador. En la página http://www.java.com puedes verificar si lo tienes instalado, bajarlo si no lo tienes o actualizarlo si es preciso.

• ¿Didáctica?

  • ¿Qué es la Didáctica?

    Dice Wikipedia:
    La Didáctica es la disciplina científico-pedagógica que tiene como objeto de estudio los procesos y elementos existentes en la enseñanza y el aprendizaje. Es, por tanto, la parte de la pedagogía que se ocupa de los sistemas y métodos prácticos de enseñanza destinados a plasmar en la realidad las directrices de las teorías pedagógicas.

    Muy vinculada con otras disciplinas pedagógicas como, por ejemplo, la organización escolar y la orientación educativa, la didáctica pretende fundamentar y regular los procesos de enseñanza y aprendizaje.

    Los componentes que actúan en el acto didáctico son:

    • El docente o profesor
    • El discente o alumno
    • El contexto del aprendizaje
    • El currículum

    Se pueden distinguir:

    • Didáctica general: aplicable a cualquier individuo.
    • Didáctica diferencial: que tiene en cuenta la evolución y características del individuo.
    • Didáctica especial: que estudia los métodos específicos de cada materia.

    Muy esquemáticamente se describen tres modelos de referencia:

    1. El modelo llamado "normativo, reproductivo o pasivo" (centrado en el contenido): La enseñanza consiste en transmitir un saber a los alumnos. La pedagogía es entonces el arte de comunicar, de "hacer pasar un saber".
    2. El modelo llamado "incitativo, o germinal" (centrado en el alumno): El maestro escucha al alumno y le ayuda a responder a sus demandas, busca una mejor motivación. El alumno busca, organiza, luego estudia y aprende. El saber está ligado a las necesidades de la vida, del entorno (la estuctura propia de ese saber pasa a un segundo plano).
    3. El modelo llamado "aproximativo o constructivo" (centrado en la construcción del saber por el alumno): Se propone partir de modelos, de concepciones existentes en el alumno y`ponerlas a prueba para mejorarlas, modificarlas, o construir nuevas.

  • De la Teoría a la práctica

    • Las dotes personales en la manera de contar ...

      • Viernes, 17 de diciembre de 2004: Eduardo Sáenz de Cabezón Irigaray (Universidad de La Rioja), Conmemoración del XXV Aniversario del Seminario: Matemáticas para contar (o viceversa).

        Nos hizo pasar un rato verdaderamente agradable contándonos cuentos de Matemáticas.

      • Miércoles, 30 de enero de 2008: César Vázquez López (Instituto de Enseñanza Secundaria Francisco Tomás y Valiente, Fuenmayor (La Rioja)), El concepto de infinito

        Nos habló del infinito de una manera muy próxima a pesar de ser algo tan lejano.

    • Qué hacer con una pizarra

      

    • Dotar a nuestros alumnos de materiales más dinámicos y visuales

      Esto es lo que vamos apretender en esta charla mostrando algunas posibilidades de Geogebra para elaborar materiales didácticos.

• Matemáticas y realidad. "Viendo las Matemáticas"

  • Glosando a Claudi Alsina

    
    Una de las tantas conferencias de Claudi Alsina tiene por título Geometría y realidad y en ella se presentan algunos puntos muy interesantes para la enseñanza de las Matemáticas que quiero destacar e incluso ampliar para ir más allá de la Geometría, en la que él hace hincapié especial:

    1. Comienza su charla citando: "...el objetivo de la educación matemática debe ser producir ciudadanos educados y no una pobre imitación de una calculadora de 30$(K. Devlin)

       Creo que esta idea es necesario generalizarla a la mayor parte de los contenidos que enseñamos en Secundaria:
       Calculamos ¿límites?, calculamos ¿derivadas?, calculamos ¿integrales?, calculamos ¿ecuaciones? en geometría analítica, operamos con ¿polinomios?, ...

    2. Desde las Matemáticas deseamos educar para que las personas puedan beneficiarse de la cultura matemática para actuar, lo mejor posible, en este mundo real que es su mundo.

       Hay que hacer un esfuerzo para que lo que enseñamos tenga conexión con la realidad.

    3. Siguiendo las ideas del proyecto PISA (Jan de Lange y otros) deberíamos prestar especial atención al desarrollo de grandes competencias o habilidades como son el pensar matemáticamente, saber argumentar, saber representar y comunicar, saber resolver, saber usar técnicas matemáticas e instrumentos y saber modelizar.

       En general, lo que hacemos es enseñar recetas (si queremos darle un tono más técnico, algoritmos para resolver ejercicios). Lo que deberíamos enseñar es enfrentarse a problemas contextualizados que, modelizando, se puedan resolver con técnicas matemáticas.

    ... Y, en cualquier caso, hay que hacer que vean las Matemáticas.

  • Unos ejemplos concretos: "¿enseñamos a matar dragones?"

    Desde hace ... mucho tiempo ... los contenidos de algunas de las materias de la Enseñanza Primaria y Secundaria se han matenido, tendiendo a la baja, pero no han evolucionado.

    "Aprendimos a matar dragones" porque era lo que había hace años, pero el mundo a evolucionado y los dragones ya desaparecieron o, tal vez, nunca estuvieron allí:

    • Cuando yo tenía 4 años, la tendera de mi barrio, la lechera que venía a mi casa,... usaban números mixtos. Hace 40 años que no se usan y sólo sirven para confundir al alumno cuando aparecen productos de números y fracciones, pero siguen estando en los libros de Matemáticas.
    • Nunca he visto un polinomio por la calle pero a los alumnos que van a estudiar la Enseñanza Secundaria, sin excepción, les enseñamos a multiplicar y dividir polinomios antes que a trabajar con estadística o probabilidad.
    • Hay nuevos "monstruos sociales" que están a la orden del día como los bits, bytes, Megas, Gigas, ... y el trabajo con el sistema binario ahora no se hace.
    • Todos tenemos una calculadora, vemos números grandes y pequeños, ... pero enseñamos antes recetarios clásicos que a usar la calculadora y, por supuesto, a entender y usar la notación científica.
    • Todos los alumnos que acaban del bachillerato "han visto cómo se deriva". Si hoy se quisieran presentar a cualquier oposición (por ejemplo a las de profesor de Enseñanza Secundaria o Primaria), muy pocos sabrían calcular la probabilidad de que les salga un tema de los que ellos han estudiado. (Los Sindicatos colaboran a la incultura general mediante una inmensa tabla que algún "¿matemático?" habrá sido capaz de hacer con una simple distribución binomial o, incluso, usando el sentido común.)
    • ¿Qué me dicen del TAE de un depósito bancario? Omnipresente en nuestra vida y ... preguntemos a ver quién sabe lo que realmente es y cómo se calcula fuera de esa magistral fórmula:
      
      r : es el tipo de interés (mensual, semestral...) expresado en tanto por uno
      f : frecuencia de pagos de intereses: 12 si el tipo es mensual, 6 si es bimestral, ...

    • De cada 100 personas de la calle "es probable que 101" opinen que, es más difícil que el gordo de la Lotería de Navidad sea el 55555 que el 34567.
    • Mi profesor de Matemáticas cuando yo tenía 15 años no sabía lo que era un límite aunque, por supuesto, me dio recetas para calcular límites. ¡Cada vez más!, en la Enseñanza Secundaria, se ha extendido la idea de que, para lo que hay que enseñar, cualquiera se lo prepara y lo enseña. Incluso a los responsables del Sistema Educativo les parece razonable y bueno que personas que se han estudiado un Licenciatura en Matemáticas se dediquen a enseñar Matemáticas ó Ciencias Naturales ó Química ó Educación para la Ciudadanía, ...

    Pero como hemos dicho, lo más importante que hay que hacer que vean las Matemáticas.

  • Tres problemas de examen

  • Unas citas sobre este Seminario

    

    1. Miércoles, 21 de diciembre de 2005: Luis Español González (Universidad de La Rioja), Congresos Internacionales de Matemáticos: ICM Madrid 2006.
       Nos dijo Luis entones que las Matemáticas empezaron a despegar en el momento que se preocuparon de sus propios problemas y no de resolver los problemas a los demás. Esto es muy razonable en Matemáticas de más alto nivel, pero en la Enseñanza Secundaria las Matematicas se llaman instrumentales y debemos hacer que sirvan, además de para ellas mismas, para los demás.

    2. Miércoles, 30 de noviembre de 2005: Fernando Corbalán Yuste (Centro de Enseñanza para Adultos de Utebo (Zaragoza) y coordinador del programa ``Matemática Vital'' del Gobierno de Aragón), Estadística, matemáticas y medios de comunicación.
       Nos contó entonces Fernando que habría que pensar en acercar las Matemáticas a la realidad del entorno y se centró en la importancia de la Estadística en el mundo actual frente a otras ramas de la Matemáticas y, sin embargo, seguimos haciendo lo de siempre ...

    3. Miércoles, 22 de marzo de 2006: Cristóbal Sánchez-Rubio García (Instituto de Enseñanza Secundaria Penyagolosa de Castellón), Aplicaciones de la geometría dinámica a le enseñanza de las matemáticas.
       Nos presentó infinidad de ejercicios planteados y resueltos con geometría dinámica en Matemáticas, en Mecánica, ... Las posibilidades que le ofrecía el software de geometría dinámica que usaba eran fabulosas.

Materiales en Geogebra. Posibilidades

• Elaboración de materiales didácticos por la integración de Geogebra con HTML

  • Potencia e Inversión respecto a una circunferencia

• Primeras aplicaciones: Textos dinámicos contextuales y barra de navegación

  • Ángulos y Tipos de ángulos

    Textos dinámicos que responden a la situación contextual.

  • Los ángulos de un triángulo

    Posibilidad de Barra de navegación para ir construyendo los que buscamos.

• Dinamismo diverso. Textos con Latex (para lenguaje matemático)

  • Ángulos inscritos y ángulos centrales

    Textos dinámicos el Latex con valores propios del contexto y en un mismo dibujo estudiamos todas las situaciones.

    Muchas personas de adultas que estudiaron bachillerato de Ciencias y se han dedicado a diversas profesiones recuerdan que "hacían derivadas, pero no recuerdan un resultado como éste y, por supuesto, no sabían qué era una derivada"

  • Arco capaz

    Surge casi de forma natural después del resultado anterior. No se ve en Matemáticas sino en Dibujo Técnico. Y tiene mucho que ver con algunas situaciones que se presentan en algunos deportes con portería cuanado oímos decir "se ha quedado sin ángulo"

• Movilidad de figuras para hacernos más fácil la comprensión

  • Teorema de la Altura

    Con esta terminología apenas si lo vemos en Matemáticas.

  • Media proporcional

    Concepto que, geométricamente y casi numéricamente, se ha perdido de las Matemáticas y sólo se ve en Dibujo Técnico

• Trazados geométricos fáciles y rápidos. Permite comprobar conjeturas o resultados

  • Rectificación de un Arco de circunferencia: la cuadratura del círculo

  • Construcción de un eneágono regular dado el radio

  • En un momento de la clase queremos demostrar que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero son vértices de un paralelogramo y, además, queremos que lo visualicen.

• Algunos dibujos clásicos con movimiento para entender mejor. Interacción sencilla con Javascript

  • Apartado: Razones Trigonométricas de Angulos que difieren en 90º

    Éste es el tratamiento clásico de los libros de texto. Sin embargo, me ha resultado curioso que, ante el hecho de pedir a los alumnos que dibujen la situación para justificarla, se aprenden los dibujos de memoria porque no los entienden.

  • Ángulos y cuartos de circunferencia

    Hemos visto aquí una interacción sencilla entre Javascript y Geogebra.

• Manipulando para comprender. Obligar a dibujar lo que resuelven

  • Resolución de un triángulos conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

    Recordemos aquí dos de los problemas presentados al hablar de Matemáticas y Realidad. Podemos ahora dibujarlo y resolverlo. También el procedimento de cálculo incorporado mediante Javasctript nos ayuda.

• Introduciendo ilustraciones para mejorar las explicaciones. Más Javascript

  • Medición de ángulos verticales (en altura)

    La idea más importante de la utilización de la Trigonometría para el cálculo de distancias inaccesibles es que, los ángulos, son fácilmente medibles. Con este ejemplo acercamos a los alumnos a la utilidad de los teodolitos.

  • Cálculo de Distancias por triangulación.

    Ejemplos concretos para el cálculo de distnacias inaccesibles con un procedimiento visual y paso a paso.

  • Cálculo de Distancias por triangulación. Caso general

    Un ráfico manipulable vale más que mil palabras.

  • Cálculo de alturas por triangulación.

    Este problema clásico resulta de difícil visión para muchos alumnos según cómo se represente el dibujo.

• Primeras aplicaciones con funciones

  Dijimos al principio que, Geogebra es algo más que un programa de Geometría Dinámica. También nos permite trabajar las funciones (el cálculo análisis)

  • Función Seno

    Cuando tabajamos con las funciones trigonométricas siempre lo hacemos con ángulos en radianes y este es un cambio que a los alumnos les incomoda y, además, no lo entiende del todo bien. La relación Seno y arco y la "necesidad" de mantener la misma escala en los dos ejes coordenados es una cuestión que vale la pena comentar para justificar este aparente capricho.

  • Aproximación del Seno, la Tangente y el Ángulo

    Más adelante les diremos a nuetro alumnos que apliquen algunas equivlencias en el cálculo de límites. Ahora, usando el Zoom pueden ver que, realmente, el Seno, la Tangente y el Arco son prácticamente iguales cuando estamos en valores de arco muy próximos a 0 radianes.

  • Fución Arcocoseno

    La necesidad de la inyectividad de una fucnión para determinar su función inversa es algo muy fácil de visualizar con un gráfico móvil.

• Viendo cosas poco habituales con funciones

  Acercar el cálculo a los alumnos pasa, desde mi punto de vista porque visualicen gráficamente hasta el más mínimo detalle. En general, en esta rama de las matemáticas, proceden por pura mecánica cuando es tan interesante ver ...

  • Dibujar la función inversa de una dada

    Paso a paso se ve mejor algo que, muchas veces sin exito, intentamos que nuestros alumnos comprendan, la representación de la función inversa de una dada.

  • Visualizando la composición de dos funciones

    Cuando construimos paso a paso la composición de dos funciones resulta más fácil esplicar a nuestros alumnos qué es la composición, cuál es el dominio de una composición de funciones, cuál su recorrido, ...

• Derivadas: ¿Qué son? Entendiendo la definición.

  Como no hemos llegado a eso que muchos alumnos de Bachillerato aprende a hacer sin saber qué son ni para qué y, por supuesto, sin entender nunca su definición con un límite (concepto del demonio) en interior.

  • Interpretación geométrica de la derivada

    Cuando vemos la definición de derivada de una función en un punto de manera gráfica y la podemos manipular en todas sus variantes, es más fácil entender perfectamente su significado. Incluso podemos calcular la derivada en un punto de funciones realmente diabólicas como un valor absoluto.

  • La función derivada

    Pasando de la derivada en un punto a la función derivada.

  • Derivada de funciones a trozos.

    La visualización de la derivada en todo tipo de funciones y, en particular con las funciones definidas a trozos nos permite llegar a entender afirmaciones como: "un función con un pico no tiene derivada en ese punto", "una función contínua no es derivable" o incluso llegar a observar casos verdaderamente curiosos de tangentes en funciones especiales.

• Problemas de optimización bien entendidos.

  Podemos sacarle mucho jugo a los problemas de optimización y hacer que nuestros alumnos comprendan lo que realmente están haciendo si unimos las posibilidades geométicas con las posibilidades de tratamiento de funciones de Geogebra.

  • Fijando conceptos básicos.

    las ideas fundamentales de los problemas de optimización se ven con ejemplos sencillos como éste.

  • Tratamientos diversos, resultados iguales.

    Entendemos aquí cómo distintas funcones modelizan un problema y, todas ellas nos llevan al mismo resultado.

  • Un problema clásico estudiado de otra manera.

    El juego que nos da éste problema para tratar conceptos de función (un valor de entrada un valor de salida como máximo), dominio de funciones, dominio de un problema, ... es muy amplio.

  • Dándole más vueltas, distintos puntos de vista.

    Un estudio más completo nos permite disfrutar de la belleza de las matemáticas elementales.

• Tocando la Geometría Analítica y otras posibilidades de Geogebra.

  Terminanos esta pequeña colección de ejemplos de Geogebra haciendo también Geometría anlítica (ya vimos un ejemplo más arriba), pero ahora vamos a ilustrar la posibilidad de definición de herramientas propias en el programa.

  • Sistemas de referencia. Coordenadas de puntos. Herramientas propias.

    Hemos definido aquí una nueva herramienta que hemos incorporado a la barra de botones de Geogebra para su uso en este caso.

Epílogo

• Reflexiones: ¿Esto sirve para algo?

  No me cabe la menor duda que Geogebra tienen una gran utilidad para hacer comprender ..., para hacer ver ...., para construir materiales didácticos, ...No, no es la herramienta universal pero es una buena herramienta.

  Sin embargo, después de llevar bastante tiempo usando diverso software para la enseñanza de las matemáticas, después de reflexionar mucho sobre qué debería ser la Enseñanza Secundaria, después de haber soñado y haberme despertado me da la impresión de que las cosas cambian demasiado lentamente pero, a pesar de todo, el mundo avanza de manera vertiginosa y ningún tiempo pasado fue mejor. Tal vez por ello le doy poca importancia al hecho de que:

  La Consejería de Educación tenga en un cajón o en la papelera un CD con cosas como las que os he mostrado y no le haya parecido lo suficientemente interesante como para ponerlo a disposición del profesorado.

  Que mis alumnos de 1º de Bachillerato de Ciencias a los que martirizo con infinidad de materiales de Geogebra tengan los que yo les dí en un cajón y cuando les he ofrecido más no haya levantado la mano para recogerlos.

  Que nosotros, el colectivo de profesores, tampoco nos movamos con demasiada energía para agarrar y exprimir las posibilidades que cosas como Geogebra ponen a nuestro alcance.

  ... Aunque estoy seguro que mis alumnos que ven las matemáticas de esta manera tampoco van a cumplir mejor los objetivos de:

  • Aprobar exámenes.
  • Hacer mejor la PAU.
  • Estar más preparados para lo que les van a pedir en el primer curso de su facultad.
  • ...

  ... ni como decíamos al principio, tampoco destacarán en:

  • Beneficiarse de la cultura matemática y actuar, lo mejor posible, en este mundo real que es su mundo.
  • Pensar matemáticamente, saber argumentar, saber representar y comunicar, saber resolver, saber usar técnicas matemáticas e instrumentos y saber modelizar.
  • ...

  ... sin duda ninguna que porque la didáctica no es una ciencia teórica sino algo práctico, individual, que debe salir de cada uno de nosotros y yo no tengo la habilidad suficiente para ello. Pero ¡ojalá¡ que a muchos de vosotros os sirva y lo consigáis.

• ¡ Lo que realmente importa!

  Las ideas que subyacen en el informe PISA y lo que sus cuestionarios miden está muy lejos de lo que sucede en muchos casos dentro de nuestras aulas.

  Si además, en vez de ajustar las matemáticas a la realidad ajustamos la realidad a las matemáticas podemos obtener esto:

  SOBRESALIENTE EN EDUCACIÓN

  

• ¡ Aunque hay visiones más reales ...!

  Ajustando las Matemáticas a la realidad vemos que estamos casi todos igual:

  SIN MANIPULAR LA ESCALA

  

• Agradecimientos

  1. A mi mujer y mis hijos: a los que, sin duda, no dedico el tiempo que merecen
  2. A todas las personas que he nombrardo en el contenido de la charla y muchos que no he nombrado porque de todos ellos he aprendido algo.
  3. A los organizadores de este Seminario: por darme la oportunidad de exponer algunas de las cosas con las que habitualmente trabajo.
  4. A tí, por estar ahí: espero que, de alguna manera, lo que aquí presento te resulte de utilidad.

La charla a tu alcance