"Mala cosa es –exclamó Eduardo– que ahora ya no se pueda aprender para toda la vida. Nuestros antecesores se atenían a la instrucción que habían recibido en su juventud; nosotros, en cambio, debemos volver a aprender cada cinco años si no queremos quedar completamente pasados de moda."
Las afinidades electivas. (Goethe 1809)
Aquí podrás encontrar:
Dice Wikipedia:
La Didáctica es la disciplina científico-pedagógica que tiene como objeto de estudio los procesos y elementos existentes en la enseñanza y el aprendizaje. Es, por tanto, la parte de la pedagogía que se ocupa de los sistemas y métodos prácticos de enseñanza destinados a plasmar en la realidad las directrices de las teorías pedagógicas.
Muy vinculada con otras disciplinas pedagógicas como, por ejemplo, la organización escolar y la orientación educativa, la didáctica pretende fundamentar y regular los procesos de enseñanza y aprendizaje.
Los componentes que actúan en el acto didáctico son:
Nos hizo pasar un rato verdaderamente agradable contándonos cuentos de Matemáticas.
Nos habló del infinito de una manera muy próxima a pesar de ser algo tan lejano.
Creo que esta idea es necesario generalizarla a la mayor parte de los contenidos que enseñamos en Secundaria:
Calculamos ¿límites?, calculamos ¿derivadas?, calculamos ¿integrales?, calculamos ¿ecuaciones? en geometría analítica, operamos con ¿polinomios?, ...
Hay que hacer un esfuerzo para que lo que enseñamos tenga conexión con la realidad.
En general, lo que hacemos es enseñar recetas (si queremos darle un tono más técnico, algoritmos para resolver ejercicios). Lo que deberíamos enseñar es enfrentarse a problemas contextualizados que, modelizando, se puedan resolver con técnicas matemáticas.
... Y, en cualquier caso, hay que hacer que vean las Matemáticas.
"Aprendimos a matar dragones" porque era lo que había hace años, pero el mundo a evolucionado y los dragones ya desaparecieron o, tal vez, nunca estuvieron allí:
Pero como hemos dicho, lo más importante que hay que hacer que vean las Matemáticas.
Potencia e Inversión respecto a una circunferencia
Ángulos y Tipos de ángulos
Textos dinámicos que responden a la situación contextual.
Los ángulos de un triángulo
Posibilidad de Barra de navegación para ir construyendo los que buscamos.
Ángulos inscritos y ángulos centrales
Textos dinámicos el Latex con valores propios del contexto y en un mismo dibujo estudiamos todas las situaciones.
Muchas personas de adultas que estudiaron bachillerato de Ciencias y se han dedicado a diversas profesiones recuerdan que "hacían derivadas, pero no recuerdan un resultado como éste y, por supuesto, no sabían qué era una derivada"
Arco capaz
Surge casi de forma natural después del resultado anterior. No se ve en Matemáticas sino en Dibujo Técnico. Y tiene mucho que ver con algunas situaciones que se presentan en algunos deportes con portería cuanado oímos decir "se ha quedado sin ángulo"
Teorema de la Altura
Con esta terminología apenas si lo vemos en Matemáticas.
Media proporcional
Concepto que, geométricamente y casi numéricamente, se ha perdido de las Matemáticas y sólo se ve en Dibujo Técnico
Rectificación de un Arco de circunferencia: la cuadratura del círculo
Construcción de un eneágono regular dado el radio
En un momento de la clase queremos demostrar que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero son vértices de un paralelogramo y, además, queremos que lo visualicen.
Apartado: Razones Trigonométricas de Angulos que difieren en 90º
Éste es el tratamiento clásico de los libros de texto. Sin embargo, me ha resultado curioso que, ante el hecho de pedir a los alumnos que dibujen la situación para justificarla, se aprenden los dibujos de memoria porque no los entienden.
Ángulos y cuartos de circunferencia
Hemos visto aquí una interacción sencilla entre Javascript y Geogebra.
Resolución de un triángulos conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Recordemos aquí dos de los problemas presentados al hablar de Matemáticas y Realidad. Podemos ahora dibujarlo y resolverlo. También el procedimento de cálculo incorporado mediante Javasctript nos ayuda.
Medición de ángulos verticales (en altura)
La idea más importante de la utilización de la Trigonometría para el cálculo de distancias inaccesibles es que, los ángulos, son fácilmente medibles. Con este ejemplo acercamos a los alumnos a la utilidad de los teodolitos.
Cálculo de Distancias por triangulación.
Ejemplos concretos para el cálculo de distnacias inaccesibles con un procedimiento visual y paso a paso.
Cálculo de Distancias por triangulación. Caso general
Un ráfico manipulable vale más que mil palabras.
Cálculo de alturas por triangulación.
Este problema clásico resulta de difícil visión para muchos alumnos según cómo se represente el dibujo.
Función Seno
Cuando tabajamos con las funciones trigonométricas siempre lo hacemos con ángulos en radianes y este es un cambio que a los alumnos les incomoda y, además, no lo entiende del todo bien. La relación Seno y arco y la "necesidad" de mantener la misma escala en los dos ejes coordenados es una cuestión que vale la pena comentar para justificar este aparente capricho.
Aproximación del Seno, la Tangente y el Ángulo
Más adelante les diremos a nuetro alumnos que apliquen algunas equivlencias en el cálculo de límites. Ahora, usando el Zoom pueden ver que, realmente, el Seno, la Tangente y el Arco son prácticamente iguales cuando estamos en valores de arco muy próximos a 0 radianes.
Fución Arcocoseno
La necesidad de la inyectividad de una fucnión para determinar su función inversa es algo muy fácil de visualizar con un gráfico móvil.
Dibujar la función inversa de una dada
Paso a paso se ve mejor algo que, muchas veces sin exito, intentamos que nuestros alumnos comprendan, la representación de la función inversa de una dada.
Visualizando la composición de dos funciones
Cuando construimos paso a paso la composición de dos funciones resulta más fácil esplicar a nuestros alumnos qué es la composición, cuál es el dominio de una composición de funciones, cuál su recorrido, ...
Como no hemos llegado a eso que muchos alumnos de Bachillerato aprende a hacer sin saber qué son ni para qué y, por supuesto, sin entender nunca su definición con un límite (concepto del demonio) en interior.
Interpretación geométrica de la derivada
Cuando vemos la definición de derivada de una función en un punto de manera gráfica y la podemos manipular en todas sus variantes, es más fácil entender perfectamente su significado. Incluso podemos calcular la derivada en un punto de funciones realmente diabólicas como un valor absoluto.
La función derivada
Pasando de la derivada en un punto a la función derivada.
Derivada de funciones a trozos.
La visualización de la derivada en todo tipo de funciones y, en particular con las funciones definidas a trozos nos permite llegar a entender afirmaciones como: "un función con un pico no tiene derivada en ese punto", "una función contínua no es derivable" o incluso llegar a observar casos verdaderamente curiosos de tangentes en funciones especiales.
Podemos sacarle mucho jugo a los problemas de optimización y hacer que nuestros alumnos comprendan lo que realmente están haciendo si unimos las posibilidades geométicas con las posibilidades de tratamiento de funciones de Geogebra.
Fijando conceptos básicos.
las ideas fundamentales de los problemas de optimización se ven con ejemplos sencillos como éste.
Tratamientos diversos, resultados iguales.
Entendemos aquí cómo distintas funcones modelizan un problema y, todas ellas nos llevan al mismo resultado.
Un problema clásico estudiado de otra manera.
El juego que nos da éste problema para tratar conceptos de función (un valor de entrada un valor de salida como máximo), dominio de funciones, dominio de un problema, ... es muy amplio.
Dándole más vueltas, distintos puntos de vista.
Un estudio más completo nos permite disfrutar de la belleza de las matemáticas elementales.
Terminanos esta pequeña colección de ejemplos de Geogebra haciendo también Geometría anlítica (ya vimos un ejemplo más arriba), pero ahora vamos a ilustrar la posibilidad de definición de herramientas propias en el programa.
Sistemas de referencia. Coordenadas de puntos. Herramientas propias.
Hemos definido aquí una nueva herramienta que hemos incorporado a la barra de botones de Geogebra para su uso en este caso.
Sin embargo, después de llevar bastante tiempo usando diverso software para la enseñanza de las matemáticas, después de reflexionar mucho sobre qué debería ser la Enseñanza Secundaria, después de haber soñado y haberme despertado me da la impresión de que las cosas cambian demasiado lentamente pero, a pesar de todo, el mundo avanza de manera vertiginosa y ningún tiempo pasado fue mejor. Tal vez por ello le doy poca importancia al hecho de que:
La Consejería de Educación tenga en un cajón o en la papelera un CD con cosas como las que os he mostrado y no le haya parecido lo suficientemente interesante como para ponerlo a disposición del profesorado.
Que mis alumnos de 1º de Bachillerato de Ciencias a los que martirizo con infinidad de materiales de Geogebra tengan los que yo les dí en un cajón y cuando les he ofrecido más no haya levantado la mano para recogerlos.
Que nosotros, el colectivo de profesores, tampoco nos movamos con demasiada energía para agarrar y exprimir las posibilidades que cosas como Geogebra ponen a nuestro alcance.
... Aunque estoy seguro que mis alumnos que ven las matemáticas de esta manera tampoco van a cumplir mejor los objetivos de:
... ni como decíamos al principio, tampoco destacarán en:
SIN MANIPULAR LA ESCALA
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