Descubrir el gran talento que tenía su hija Hypatia para las matemáticas fue una magnífica sorpresa.[...] No lo supo por su gran habilidad a la hora de manejar el ábaco para hacer operaciones de aritmética,[...] ni por la rapidez que demostraba al entender los pasos de complejas demostraciones matemáticas, ni por su extraordinaria retentiva[...]. No, todo esto estaba al alcance de cualquier niño inteligente. Él sabía que el talento matemático consistía en entender el mundo en su lógica interna, en hacer abstracción de todo lo superfluo y ver sólo aquello que pudiese ser razonado con un sistema axiomático de pensamiento. El punto no existía mas que en la imaginación humana, al igual que la línea y el círculo.
Hypatia. La mujer que amó la ciencia
Pedro Gálvez. Ed. Lumen
Aquí podrás encontrar:
Dibujando una parábola por puntos
Y resulta que una parábola es simétrica. Basta ver el proceso constructivo. Aunque algebraícamente cuesta un poco más verlo¿Dónde está el foco de una parábola?
Aprovechamos para aprender cómo crear una Herramienta propia en Geogebra. En este caso la Herramienta FocoToda recta no horizontal que pase por el vértice corta a la parábola en otro punto más
Planteando la propuesta anterior se me ocurrió ésta de manera evidente sin más que mirar "de lejos parábolas muy esbeltas"Las antenas parabólicas
Un doble homenaje a Newton: Óptica (reflexión) y Cálculo (derivación)La elipse por envolventes.
Así que, volvamos a nuestras antenas parabólicas pero ahora "fijemos el foco de atención en otro lugar"
La parábola por envolventes.
Una de las evoluciones que nos permite realizar tareas más facilmente es la gestión automatizada de números complejos en lo relativo a su operatoria y a su escritura
Representación manual de la forma binomial de un complejo.
La representación en pantalla de la forma binomial de un complejo la debíamos gestionar manualmente.
El Producto y Cociente de Complejos con versiones anteriores.
Quizá, como siempre, nos limitamos a enseñar pura mecánica de cálculo y, lo más interesante se quede en el tintero.
Desde mi punto vista, una cuestión de un interés práctico inmenso es el hecho de que, gráficamente, el producto y la división de números complejos es un giro y una homotecia.
Como Geogebra es un programa de Geometría Dinámica, obviamente dispone de comomandos para hacer "Giros" y "Homotecias", en consecuencia, la obtención del producto de dos números complejos se gestionaba internamente como un problema geométrico.
Ahora la Geometría nos viene a ayudar para poder resolver problemas algebraicos.
La gestión en la versión actual.
En algunas ocasiones, en mi opinión, el avance hacia adelante de Geogebra se hace de forma un poco precipitada. Como veremos aquí, la gestión de números complejos actual simplifica bastante las cosas pero también puede introducir inconvenientes importantes.
Dando un giro a tu vida alrededor del origen.
Apliquemos pues lo que hemos aprendido para girar alrededor del origen.
Dando un giro a tu vida alrededor de cualquier punto.
Y con un poquito más de imaginación, apliquemos lo que hemos aprendido para girar alrededor de un punto cualquiera.
Simetría respecto a un punto
No hay cosa "más confusa" hablando de simetrías que la simetría respecto a un punto.Funciones de simetría impar
No digamos nada cuando hablamos de simetría impar en una función.Dando vueltas a la moneda: La cicloide
Este vistoso y sencillo ejercicio es, por el contrario, difícil de construir porque, las figuras que parece que giran al que gestionarlas internamente de forma un poco ingeniosa.El triángulo de Reuleaux
El Triángulo de Reuleaux es la segunda figura más conocida de diámetro constante. Obviamente la más conocida es el círculo (o la cirunferencia si consideramos sólo el borde exterior).
Dando vueltas al triángulo de Reuleaux
Las figuras de diámetro constante tienen la particularidad de que son capaces de rodar entre dos líneas paralelas de forma similar a como lo haría un círculo. Sin embargo, el resultado es algo diferente.
En un cuadrado de lado 14 cm. se inscribe otro cuadrado de 100cm2 de área. Calcula a qué distancia de los vértices del cuadrado inicial están los vértices del cuadrado inscrito?
Por supuesto, junto al enunciado, aparecía un dibujo con un cuadrado inscrito en otro.
Pero se me ocurrió plantearlo como ejercicio para casa con una ligera variante:
Un problema de cuadrados ... (Empezando a imaginar)
En un cuadrado de lado 14 cm. se inscribe otro cuadrado de 100cm2 de área. Calcula a qué distancia de los vértices del cuadrado inicial están los vértices del cuadrado inscrito?
Un problema de cuadrados ... (seguimos imaginando)
Y por casualidad ... aparece Pitágoras
Tal vez una reflexión curiosa que podría hacer alguno de muestros alumnos de Secundaria podría ser:
- ... lo de Pitágoras me suena. ¡Sí, ahora recuerdo, Pitágoras era un Teorema! Así que este tipo tiene nombre de Teorema. ¡Qué coincidencia!
- Bueno, tampo es tanta casualidad. En Filosofía me han hablado de los dos tipos a los que, en todas las ciudades, les dedican la misma calle (Ortega y Gasset)
- Y, pensándolo bien, tampoco es tan raro, porque un día me enteré que había otro tipo que tenía nombre de "división de polinomios" (Paolo Ruffini 1765 - 1822)
Hagamos una aplicación de Pitágoras
Aprovechemos que está aquí Pitágoras para seguir haciéndole un homenaje y probemos a visualizar una aplicación de su famoso Teorema
Polinomios y Raices.
Aunque sólo estemos factorizando polinomios, ¿por qué no ver lo que estamos haciendo?
Utilizaremos algunos nuevos comandos como: Raíz[], Desarrolla[], Factoriza[], Polinomio[], Simplifica[], ..., que nos permiten algunas posiblidades de cálculo simbólico
Sistema de dos Desigualdades
Mucho mejor si vemos lo que calculamos y por qué ...
Desigualdades
Viendo más desigualdades
La incorporación más impactante a simple vista de la versión 3.2 de Geogebra es la incorporación de la Vista de Hoja de Cálculo.
No son pocas las utilidades que nos da una Hoja de Cálculo en la enseñanza de las Matemáticas y, además, no son pocas las ventajas desde el punto de vista de la presentación de la información.
Las posibilidades de esta herramienta son inmensas
Recogiendo series de puntos de ciertas funciones.
Ya no es necesario salir de Geogebra para obtener series de valores numéricos de manera rápida a partir de funcones.
O, lo contrario, representar una serie de puntos de los que disponemos en formato tabular.
Ahora es posible hacer operaciones con Matrices de manera directa. La versión 3.2 de Geogebra incorpora muchas posibilidades nuevas para la gestión de listas de números e incorpora el automatismo de Matriz que, internamente es una lista de listas.
Junto con el objeto Matriz aparecen también las automatismos correspondientes a las operaciones:
Algunas operaciones con Matrices.
Ahora es posible hacer estadística con Geogebra. La posibilidad de la vista Hoja de Cálculo es también ahora de una ayuda inestimable.
Si en lo referente a comandos estadísticos el repertorio es adecuado, en lo referente a representación gráfica de datos, todo deja mucho que desear.
En este caso, si dispones de un Programa de Hoja de Cálculo, mejor que lo utilices antes que Geogebra (¡Al menos, de momento!).
Por ello, y como no se trata de dar aquí un curso o un tutorial de Geogebra ... me limito a mencionar estás posibilidades y remitir al Manual del programa que, si tienes conexión a Internet, puedes encontrar en el siguiente enlace: Ayuda de Geogebra
Sistemas de Numeración.
¿Qué es un sistema de numeración posicional?¿De dónde viene el CERO?. ¿Por qué lo necesitamos?
Sumándo con el Ábaco
¿De dónde sale nuestro algoritmo de la suma?. ¿Es artificioso lo de ... "y me llevo una"?.
Del Ábaco a nuestro algoritmo de la suma
Restando con el Ábaco
¿De dónde viene nuestro algoritmo de la resta?. ¿Podríamos restar de otra manera?
Del Ábaco a nuestro algoritmo de la resta:
La manera natural de restar sería pensar en ... "y necesito una", pero el artificio de nuestro algoritmo de la resta es óptimo para funcionar.
Pero si lo que buscamos es que nuestros alumnos:
Mi manera de pensar sobre la enseñanza de las Matemáticas está muy cerca de:
[...] Pero si tu profesor de matemáticas te diese la impresión, tanto explícitamente como por omisión, de que las matemáticas son todo fórmulas y definiciones y memorizar algoritmos. ¿Quién te enderezará?
El problema cultural es un monstruo que se auto perpetua: los alumnos aprenden matemáticas de sus profesores, y los profesores aprenden de sus profesores, así que esta falta de comprensión y aprecio por las matemáticas se replica a sí misma indefinidamente.
Lamento de un Matemático
Paul Lockhart
Pueden encontrar el artículo completo traducido al español en http://files.brucknerite.net/lamento_de_matematico.pdf.
Les recomiendo encarecidamente su lectura y una reflexión sobre ella.
Ha sido publicado en español en la Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española (Vol. 11 nº4 de 2008)
La versión original en inglés en internet la pueden encontrar en: http://www.maa.org/devlin/LockhartsLament.pdf
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