APLICACIONES DE GEOGEBRA 
I Jornadas de Matemáticas de la Sociedad Aprima 
Logroño, 20 y 21 de Noviembre de 2009 

Prólogo

• ¿De qué va esta charla?

  • ... Empezemos hablando de Princesas

    La ... "última" Ley educativa habla de fomentar la lectura:
    En ocasiones doy a mis alumnos referencias de lecturas y, una de ellas ha sido ésta de Adrián Paeza:
    Hablando de Princesas

  • Un cuento de Vaqueros

    ... Tres vaqueros atracan un banco en un pequeño pueblo del oeste.
    Uno de ellos cae herido en el atraco pero el jefe de la banda (persona honrada donde las haya a pesar de ser atracador de bancos), no abandona al herido, reparte el botín en 3 partes iguales y cuida del compañero lastimado.
    Lamentablemente, a pesar de los cuidados de sus compañeros, el herido muere y, después de enterrarlo, toman su parte del botín y se la dividen entre los dos que han quedado con vida. Con ello, cada uno se lleva la mitad del botín.
    ...Y colorín colorado, este cuento se ha acabado

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    • También gráficamente

    • ¿... Y las Matemáticas?

      ¿Pero no te has dado cuenta?
      ¡De acuerdo ... nos remitiremos al Álgebra:

      

      
      ¿Se te ocurre una generalización inmediata ...?¿Piensa en el cuento, piensa en la presetnación geométrica, ... deja el Álgebra para martirizar el lunes a tus alumnos?

• ¿Geogebra?

  • ¿Qué es Geogebra?

    GeoGebra: es un software libre escrito en Java y, por ello, disponible en múltiples plataformas (Sistemas operativos). Está diseñado para interactuar dinámicamente en un ámbito en que se reúnen la Geometría, el Algebra y el Análisis o Cálculo. Puede ser usado para Matemáticas, Fisica, Dibujo Técnico,... Fue especialmente diseñado para utilizarlo en la enseñanza a nivel de la escolaridad media.
    Su creador, Markus Hohenwarter, comenzó el proyecto en el año 2001 en la Univesidad de Salzburgo y lo continúa en la Universidad de Atlantic, Florida.
    Su categoría más cercana es "software de geometría dinámica" pero supera ámpliamente las limitaciones de esta categoría. En GeoGebra puedes hacer construcciones con puntos, segmentos, líneas, cónicas -mediante el ratón o con instrucciones en el teclado-, y todo eso modificable en forma dinámica: es decir que si algún objeto depende B de otro A, al modificar A, también se actualiza B. Pero también puedes definir funciones reales de variable real, calcular y fraficar sus derivadas, integrales, etc...

    • ¡Veamos cómo es!

      La última actualización es: Geogebra 3.2.30.0 de 22 de Septiembre de 2009.
      

  • ¿Como lo consigo?

    
    GeoGebra es un software libre bajo licencia GNU que puedes descargar en su página web de referencia http://www.geogebra.org.

    Aquí podrás encontrar:

    • El software para descargar casi para cualquier plataforma y sistema operativo.
    • La ejecución Web Start para si no quieres instalarlo en el ordenador sino ejecutarlo en línea siempre con la última versión disponible.
    • Ayuda de todo tipo en infinidad de idiomas.
    • Ejemplos variados para que veas sus posibilidades.
    • Geogebra Wiki
    • Soporte
    • ...

  • ¿Qué necesito para que Geogebra funcione en mi ordenador?

    
    GeoGebra es un software hecho en lenguaje Java y, por tanto, necesitamos el software de Java instalado previamente en nuestro ordenador. En la página http://www.java.com puedes verificar si lo tienes instalado, bajarlo si no lo tienes o actualizarlo si es preciso.

¿Para qué me sirve Geogebra?

• Una parábola ...

  Y dijo el Señor a sus discípulos ...
  En verdad, en verdad os digo ... y = a x² + b x + c
  No comprendemos Señor - le contestaron -
  Pero necios, no os dais cuenta de que es una Parábola

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  Esta charla también es una parábola, sin duda que lo es.
  Así que me pareció oportuno dedicar una parte de ella a jugar con Parábolas.

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  • Dibujando una parábola por puntos

    Y resulta que una parábola es simétrica. Basta ver el proceso constructivo. Aunque algebraícamente cuesta un poco más verlo

  • ¿Dónde está el foco de una parábola?

    Aprovechamos para aprender cómo crear una Herramienta propia en Geogebra. En este caso la Herramienta Foco
    La Herramienta se encuentra ya creada (El procedimiento de creación no está escrito en la charla, se explicará de palabra)

  • Toda recta no horizontal que pase por el vértice corta a la parábola en otro punto más

    Planteando la propuesta anterior se me ocurrió ésta de manera evidente sin más que mirar "de lejos parábolas muy esbeltas"

  • Las antenas parabólicas

    Un doble homenaje a Newton: Óptica (reflexión) y Cálculo (derivación)

• Un cuento real...

  Ya tenía la estructura y la organización de esta charla totalmente preparada cuando ocurrió que ...
  Mi hijo, que estudia 1º de Bachillerato, se cambió de Biología a Dibujo Técnico cuando los demás compañeros ya llevaban un mes de clase (el 1 de Noviembre).
  En su centro, en Dibujo Técnico, habían empezado por Geometría Plana, parte del dibujo que sigue sin entrarme en la cabeza por qué no la impartimos en Matemáticas. Nosotros deberíamos poder, además, justificar razonadamente cientos de construcciones.
  Llegó a casa y le pregunté qué estaban haciendo en Dibujo Técnico, pues lleva 1 mes de retraso con el resto:
  - Dibujando elipses ... - me dijo-
  ¡Genial, pensé!. Y le pedí que me contase cómo las estaban dibujando.
  Me describió varios procesos que habían hecho.
  Lo senté delante de Geogebra y le dije:
  - Hazme lo que os han explicado en clase.
  En dos minutos tenía las construcciones hechas y manipulables. Le pedí que me enviase por correo la que más le gustó a él y, el resultado se lo presento aquí:

  • La elipse por envolventes.

  Pero ello me llevó a cambiar totalmente el orden de la charla, a comenzar con mi parábola, a añadir cosas y a eliminar otras.
  Creo que el rsultado ha valido la pena y se lo dedicó pues a mi hijo mayor.

  Así que, volvamos a nuestras antenas parabólicas pero ahora "fijemos el foco de atención en otro lugar"

  • La parábola por envolventes.

• Números Complejos. (Novedad v3.2).

  
  - ¿Para qué sirven los Números Complejos? - Preguntó el alumno a su profesor de Matemáticas-
  - ...? - Contestó el profesor a su alumno-
  
  Hace unos días me dijo un muchacho que estudia Primero de Matemáticas que se usaban en corriente alterna pero que no sabía ni cómo ni por qué.
  

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  Una de las evoluciones que nos permite realizar tareas más facilmente es la gestión automatizada de números complejos en lo relativo a su operatoria y a su escritura

  • Representación manual de la forma binomial de un complejo.

    La representación en pantalla de la forma binomial de un complejo la debíamos gestionar manualmente.

  • El Producto y Cociente de Complejos con versiones anteriores.

    Quizá, como siempre, nos limitamos a enseñar pura mecánica de cálculo y, lo más interesante se quede en el tintero.
    Desde mi punto vista, una cuestión de un interés práctico inmenso es el hecho de que, gráficamente, el producto y la división de números complejos es un giro y una homotecia.
    Como Geogebra es un programa de Geometría Dinámica, obviamente dispone de comomandos para hacer "Giros" y "Homotecias", en consecuencia, la obtención del producto de dos números complejos se gestionaba internamente como un problema geométrico.
    Ahora la Geometría nos viene a ayudar para poder resolver problemas algebraicos.

  • La gestión en la versión actual.

    En algunas ocasiones, en mi opinión, el avance hacia adelante de Geogebra se hace de forma un poco precipitada. Como veremos aquí, la gestión de números complejos actual simplifica bastante las cosas pero también puede introducir inconvenientes importantes.

  • Dando un giro a tu vida alrededor del origen.

    Apliquemos pues lo que hemos aprendido para girar alrededor del origen.

  • Dando un giro a tu vida alrededor de cualquier punto.

    Y con un poquito más de imaginación, apliquemos lo que hemos aprendido para girar alrededor de un punto cualquiera.

• Cuestiones elementales que siempre están confusas

  ¿ Y si damos un giro de 180º?

  • Simetría respecto a un punto

    No hay cosa "más confusa" hablando de simetrías que la simetría respecto a un punto.
    ¿Qué significa hacer la simetría respecto a un punto de una figura plana?

  • Funciones de simetría impar

    No digamos nada cuando hablamos de simetría impar en una función.
    Enlace al fichero de geogebra: enlace

• Trazados geométricos. Difíciles de construir pero vistosos e instructivos

  El Giro es la esencia de lo que vamos a ver en este apartado ... y teniendo en cuenta que ya hemos aprendido a girar, por ejemplo, utilizando Complejos, esto "será más sencillo"

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  • Dando vueltas a la moneda: La cicloide

    Este vistoso y sencillo ejercicio es, por el contrario, difícil de construir porque, las figuras que parece que giran al que gestionarlas internamente de forma un poco ingeniosa.

  • El triángulo de Reuleaux

    El Triángulo de Reuleaux es la segunda figura más conocida de diámetro constante. Obviamente la más conocida es el círculo (o la cirunferencia si consideramos sólo el borde exterior).

  • Dando vueltas al triángulo de Reuleaux

    Las figuras de diámetro constante tienen la particularidad de que son capaces de rodar entre dos líneas paralelas de forma similar a como lo haría un círculo. Sin embargo, el resultado es algo diferente.

• Manipulando para comprender. Dibuja e imagina ... y así entenderás lo que resuelves

  En el libro de 3º de ESO aparecía el siguiente problema:

  En un cuadrado de lado 14 cm. se inscribe otro cuadrado de 100cm² de área. Calcula a qué distancia de los vértices del cuadrado inicial están los vértices del cuadrado inscrito?

  Por supuesto, junto al enunciado, aparecía un dibujo con un cuadrado inscrito en otro.

  Pero se me ocurrió plantearlo como ejercicio para casa con una ligera variante:

  1. En primer lugar había que hacer el dibujo por tus propios medios. Olvidarse del dibujo del libro.
  2. En segundo lugar, sólo después de dibujarlo, resolverlo.

  
  Y como casi siempre ...
  

  • Algunos no hicieron nada
  • Ninguno fue capaz de hacer el dibujo. ... El cuadrado interior no les salía.
  • Pero lo más asombroso de todo fue que hubo quien, sin saber dibujarlo, fue capaz de resolver el problema. ¡Obviamente, sin saber lo que había hecho salvo, eso si, resolver una ecuación de 2º grado!

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  • Un problema de cuadrados ... (Empezando a imaginar)

    En un cuadrado de lado 14 cm. se inscribe otro cuadrado de 100cm² de área. Calcula a qué distancia de los vértices del cuadrado inicial están los vértices del cuadrado inscrito?

  • Un problema de cuadrados ... (seguimos imaginando)

  • Y por casualidad ... aparece Pitágoras

    Tal vez una reflexión curiosa que podría hacer alguno de muestros alumnos de Secundaria podría ser:

    - ... lo de Pitágoras me suena. ¡Sí, ahora recuerdo, Pitágoras era un Teorema! Así que este tipo tiene nombre de Teorema. ¡Qué coincidencia!

    - Bueno, tampo es tanta casualidad. En Filosofía me han hablado de los dos tipos a los que, en todas las ciudades, les dedican la misma calle (Ortega y Gasset)

    - Y, pensándolo bien, tampoco es tan raro, porque un día me enteré que había otro tipo que tenía nombre de "división de polinomios" (Paolo Ruffini 1765 - 1822)

  • Hagamos una aplicación de Pitágoras

    Aprovechemos que está aquí Pitágoras para seguir haciéndole un homenaje y probemos a visualizar una aplicación de su famoso Teorema

• Polinomios, Funciones, ... y también algo de cálculo simbólico

  • Polinomios y Raices.

    Aunque sólo estemos factorizando polinomios, ¿por qué no ver lo que estamos haciendo?

    Utilizaremos algunos nuevos comandos como: Raíz[], Desarrolla[], Factoriza[], Polinomio[], Simplifica[], ..., que nos permiten algunas posiblidades de cálculo simbólico

  • Sistema de dos Desigualdades

    Mucho mejor si vemos lo que calculamos y por qué ...

  • Desigualdades

    Viendo más desigualdades

• Hoja de Cálculo. (Novedad v3.2).

  La incorporación más impactante a simple vista de la versión 3.2 de Geogebra es la incorporación de la Vista de Hoja de Cálculo.
  No son pocas las utilidades que nos da una Hoja de Cálculo en la enseñanza de las Matemáticas y, además, no son pocas las ventajas desde el punto de vista de la presentación de la información.
  Las posibilidades de esta herramienta son inmensas

  • Recogiendo series de puntos de ciertas funciones.

    Ya no es necesario salir de Geogebra para obtener series de valores numéricos de manera rápida a partir de funcones.
    O, lo contrario, representar una serie de puntos de los que disponemos en formato tabular.

• Matrices. (Novedad v3.2).

  Ahora es posible hacer operaciones con Matrices de manera directa. La versión 3.2 de Geogebra incorpora muchas posibilidades nuevas para la gestión de listas de números e incorpora el automatismo de Matriz que, internamente es una lista de listas.
  Junto con el objeto Matriz aparecen también las automatismos correspondientes a las operaciones:

  • Suma, Resta y Producto de Matrices.
  • Trasposición de Matrices.
  • Producto de un número por una Matriz
  • Producto de un vector por una Matriz.
  • Cálculo de Determinantes.
  • Cálculo de Inversa de una Matriz.

  Si a ello unimos las nuevas funciones sobre la gestión y presentación de elementos Textuales y la vista de Hoja de Cálculo, podemos conseguir cosas como las del ejemplo que presentamos.

  • Algunas operaciones con Matrices.

• Algo de Estadística sencilla. (Novedad v3.2).

  Ahora es posible hacer estadística con Geogebra. La posibilidad de la vista Hoja de Cálculo es también ahora de una ayuda inestimable.

  Si en lo referente a comandos estadísticos el repertorio es adecuado, en lo referente a representación gráfica de datos, todo deja mucho que desear.

  En este caso, si dispones de un Programa de Hoja de Cálculo, mejor que lo utilices antes que Geogebra (¡Al menos, de momento!).

  Por ello, y como no se trata de dar aquí un curso o un tutorial de Geogebra ... me limito a mencionar estás posibilidades y remitir al Manual del programa que, si tienes conexión a Internet, puedes encontrar en el siguiente enlace: Ayuda de Geogebra

• El Ábaco. Sistema de Numeración.

  • Sistemas de Numeración.

    ¿Qué es un sistema de numeración posicional?¿De dónde viene el CERO?. ¿Por qué lo necesitamos?

  • Sumándo con el Ábaco

    ¿De dónde sale nuestro algoritmo de la suma?. ¿Es artificioso lo de ... "y me llevo una"?.
    Del Ábaco a nuestro algoritmo de la suma

  • Restando con el Ábaco

    ¿De dónde viene nuestro algoritmo de la resta?. ¿Podríamos restar de otra manera?
    Del Ábaco a nuestro algoritmo de la resta:
    La manera natural de restar sería pensar en ... "y necesito una", pero el artificio de nuestro algoritmo de la resta es óptimo para funcionar.

Epílogo

• Reflexiones:

  No me cabe la menor duda que Geogebra tienen una gran utilidad para hacer comprender ..., para hacer ver ...., para construir materiales didácticos, ...No, no es la herramienta universal pero es una buena herramienta.

  Pero si lo que buscamos es que nuestros alumnos:

  • "Hagan ejercicios tipo" de manera repetitiva
  • Apliquen algoritmos sistemáticamente sin poner el acento en el porqué de los mismos
  • Si nos parece más importante que sepan hacer que el entender lo que están haciendo
  • Si pensamos que las ecuaciones de segundo grado incompletas merecen una receta específica.
  • Si para nosotros operar en notación científica es un tema diferente a operar y pasamos por alto como un detalle menor que
    3,2·10¹² : 1,3·10¹¹ se parece a 3,2·10¹² : (1,3·10¹¹) como un huevo a una castaña
  • Si opinamos que es más importante que hagan derivadas, sin saber qué hacen ni por qué, antes de que sepan localizar el foco de una parábola o incluso antes de que sepan que las parábolas tiene un foco.
  • ...

  
  En ese caso, tal vez Geogebra no sea una herramienta excesivamente útil.

  Mi manera de pensar sobre la enseñanza de las Matemáticas está muy cerca de:

  [...] Pero si tu profesor de matemáticas te diese la impresión, tanto explícitamente como por omisión, de que las matemáticas son todo fórmulas y definiciones y memorizar algoritmos. ¿Quién te enderezará?
  El problema cultural es un monstruo que se auto perpetua: los alumnos aprenden matemáticas de sus profesores, y los profesores aprenden de sus profesores, así que esta falta de comprensión y aprecio por las matemáticas se replica a sí misma indefinidamente.

  Lamento de un Matemático

  Paul Lockhart

  Pueden encontrar el artículo completo traducido al español en http://files.brucknerite.net/lamento_de_matematico.pdf.
  Les recomiendo encarecidamente su lectura y una reflexión sobre ella.
  Ha sido publicado en español en la Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española (Vol. 11 nº4 de 2008)
  La versión original en inglés en internet la pueden encontrar en: http://www.maa.org/devlin/LockhartsLament.pdf

• Agradecimientos

  1. A mi mujer y mis hijos porque se lo merecen
  2. A todas las personas que he nombrardo en el contenido de la charla y muchos que no he nombrado porque de todos ellos he aprendido algo.
  3. A los organizadores de estas Jornadas: por el esfuerzo que han realizado y por darme la oportunidad de exponer algunas de las cosas con las que trabajo.
  4. A tí, por estar ahí: espero que, de alguna manera, lo que aquí presento te resulte de utilidad.

La charla a tu alcance