Principio de Cavalieri
Una excusa perfecta para
una fiesta con Matemáticas
UR, 26 de Enero de 2011

Primera parte

• Bienvenidos

  
  

  Buenas noches bienvenidos hijos del rock’n'roll los saludan los aliados de la noche Bienvenidos al concierto gracias por estar aqui vuestro impulso nos hará seres eléctricos Ayúdanos a conectar sólo por ti el Rock existirá Ayúdanos a conectar sólo por ti el Rock existirá	Necesitamos muchas manos, pero un sólo corazón para poder intentar el exorsismo Abrir vuestras mentes, llenaros con un soplo de Rock que desalojen los fantasmas cotidianos Ayúdanos a construir hoy el Rock’n'Rios se hace para ti Ayúdanos a construir hoy el Rock’n'Rios se hace para ti
  A los hijos de Rock’n'roll Bienvenidos Bienvenidos

• Cavalieri y su principio

  • El principio de Cavalieri

    • Cuya traducción literal, según una compañera de Latín a la que agradezco infinito su esfuerzo y el detalle de intentar traducirlo:

      ---

      Si dos figuras planas, o sólidas, hubieran sido colacas en la misma altura, pero dispuestas en planos rectilíneos, y llevadas en figuras sólidas y planas, siempre paralelas, con cuya posibilidad la altura fijada de antemano resultara tomada, se habría encontrado que las proporciones, cortadas con figuras sólidas, son fuerzas proporcionales, manifestándose siempre homólogas en la misma figura, dichas figuras estarán entre sí, como uno cualquiera de aquellos antecedentes, correspondiéndole hacia su consecuente en la otra figura.

      ---

    • Y en román paladino podría decir algo así:

      ---

      Si dos figuras planas ( o sólidas) tienen igual altura y las secciones hechas por rectas paralelas ( planos paralelos en caso de sólidos) a las bases y a igual distancia de ellas están siempre en la misma razón, entonces las figuras planas (o los sólidos) están también en la misma razón.

      ---

    • Un ejemplo para figuras planas

      Comencemos con un ejemplo para figuras planas:

      • Ejemplo del Principio de Cavalieri para figuras planas

      • Ejemplo Constructible del Principio de Cavalieri para figuras planas

    • Un ejemplo para sólidos

      • Ejemplo del Principio de Cavalieri para sólidos

  • Cavalieri y su contexto histórico

    

    Bonaventura Cavalieri nace en Milán en 1598 y muere en Bolonia en 1647

    Fue matemático y monje, discípulo de Galileo. En 1629 fue nombrado profesor de matemáticas en Bolonia.
    

    Su paso a la historia se debe a su teoría de los «indivisibles», que expuso en su Geometría indivisibilibus continuorum quadam nova ratione promota (1635).

    Si bien la mayor parte de las fuentes afirma que fue jesuita, personalmente me decanto más por creer las escasa fuentes que afirman que perteneció a la orden de los jesuatas o jesuatos.

    La orden de los jesuatas o jesuatos fue aprobada por el papa Urbano V en 1367. en principio se trataba de una orden de religiosos legos. En 1606 Paulo V les permitó ordenarse. Sin embargo, en 1668, Clemente IX, suprimió la orden, al parecer, porque sus costumbre y hábitos se habían relajado de manera preocupante.

    Mientras preparaba esta Charla y su Taller asociado me he preguntado muchas cosas alrededor de Cavalieri. Se me han ocurrido muchas elucubraciones para escribir una novela de ficción.

    ¿Hasta qué punto Cavalieri conocía la obra perdida de Arquímedes? Porque no soñar en un oscuro fraile que encontró una copia desconocida para el mundo de algunos trabajos de Arquímedes.

    En 1906 el filólogo danés Johan Ludvig Heiberg (1854-1928) encontró el palimpsesto de Arquímedes. Cuántos antes que el tuvieron acceso a esa información, es un misterio.

    Hasta el siglo XXI no hemos sido capaces de entender del todo hasta dónde llegó Arquímedes.

    
    [...]
    Los dos principios que los creadores de la ciencia moderna aprendieron de Arquímedes fueron:
    - Las matemáticas infinitesimales.
    - La aplicación de los modelos matemáticos al mundo físico.
    
    Gracias al palimpsesto, ahora sabemos mucho más acerca de estos dos aspectos de la obra de Arquímedes. [...]En 2001, un importantísimo descubrimiento nos hizo ver, por primera vez en la historia, cuánto se había acercado Arquímedes a los conceptos modernos del infinito
    

    El código de Arquímedes - Reviel Netz y William Noel -

    
    

    En realidad, el palimpsesto no aportó nada nuevo al progreso de la ciencia. Tan sólo permitió replantearse que, quizá, algunas cosas pudieron devenir de otro modo al que habíamos pensado. Pero en cualquier caso, ya habían "devenido"

    
    
    Entre los árboles avistó Serpentine, el lago rectangular que hizo construir la reina Carolina diez años antes del nacimiento de Newton.
    
    La historia es viva y cambiante, no es una imagen anquilosada e inamovible del pasado, tal como parecen creer muchos. El pasado siempre tiene algo nuevo que ofrecer, siempre y cuando se cambie el punto de vista.
    

    La Hermandad invisible - Kurt Aust -

    
    

  • Los indivisibles y el Infinito

    - ¿Ha oído vuestra paternidad hablar de los átomos? –preguntó fray Martín Vélez.
    - No.
    - Dicen Demócrito, Anaxágoras y Telesio, y ahora mismo otros muchos, que las cosas están hechas de otras más pequeñas que llaman átomos y que así como se agrupan los tales átomos surgen especies sólidas o líquidas, blandas o duras, blancas o negras, unas madera y otras agua, unas piedra y otras lana.
    Fray Martín Vélez hizo una pausa en este punto con la intención de destacar lo que aún le quedaba por decir y continuó hablando, muy despacio, para asegurar la comprensión de sus palabras:
    - Si la razón entrara a gobernar los asuntos de la fe, si se permitiera cambiar lo que la Biblia dice del Sol y de la Tierra, simplemente porque las matemáticas dicen otra cosa, vendrían luego los filósofos a suscitar que no existe el milagro de la eucaristía, donde se convierte el pan en la carne de Cristo y el vino en la sangre.
    - ¿Por qué?
    - Porque, según empiezan a decir, si las cosas están hechas de átomos y son de un modo y no de otro por causa de esos mismos átomos, al permanecer en el pan y en el vino su color, su olor y su sabor, siguen siendo lo que eran, pan y vino y no cuerpo y sangre de Cristo. Ésa es la herética pravedad que hoy amenaza al mundo.
    - Lutero dice que en la eucaristía, con el cuerpo y la sangre de Cristo hay verdadero pan y verdadero vino, al mismo tiempo…
    - Lo que es enteramente falso. La consagración se hace con las palabras: hoc est corpus Meum. Éste es mi cuerpo. Cristo dijo: éste. Lo que significa que aquel pan no era ya pan. Por milagro, se produce la conversión de toda la sustancia del pan en el cuerpo y de toda la sustancia del vino en la sangre y no queda allí ya ni pan ni vino. No vengan los hombres a decir, por la matemática y la física con las que ahora dicen que el mundo da vueltas, que en tales sustancias no se obra, por milagro, la transubstanciación.

    El matemático del Rey - Juan Carlos Arce -
    (El autor situa la novela en 1621 y 1622 en España)

    Lo infinitamente divisible es un concepto inseparable del de continuidad. Se trata de un asunto complejo y de cierta enjundia.
    […]
    Cavalieri, está dispuesto a considerar que los objetos continuos son susceptibles de ser divididos en partes elementales, en “mónadas”, como átomos constitutivos que ya no pueden ser divididos en partes más pequeñas (indivisibles).
    […]
    Es consciente de que todos estos indivisibles tienen que figurar en número infinito, pero en realidad es otro de los matemáticos que pasa de puntillas sobre esta cuestión.

    Un descubrimiento sin fin.El infinito matemático - Enrique Gracián -

    • La idea de Indivisible de Cavalieri, el discreto y el continuo

      • La idea gráfica de un indivisible

      Y aunque este hecho es tan antiguo como Eudoxio y su principio de Exhaución, utilizado tan hábilmente por Arquímedes y, por supuesto, en el fondo del razonamiento de Cavalieri ... "Infinitos indivisibles hacen un contínuo finito"

      • De lo discreto al infinito continuo

  • La trascendencia del Principio de Cavalieri

    De los procedimientos surgidos en el primer tercio del siglo XVII para resolver los cálculos de áreas y volúmenes, el que más influencia tuvo fue el de los indivisibles de del ¿jesuita? Bonaventura Cavalieri (1598-1647) , discípulo de Galileo y profesor en Bolonia (tal vez es preciso exceptuar los métodos desarrollados por Kepler para el cálculo de volúmenes de revolución, que tanto ayudaron a los vinateros austriacos en el diseño de sus barriles y barricas). Se puede afirmar, groso modo, que los indivisibles suponen un redescubrimiento de las bases metodológicas del método mecánico de Arquímedes. Cavalieri consideró las áreas formadas por segmentos y los volúmenes formados por trozos de áreas planas.
    […]
    Comparando con lo que vino después, el método de los indivisibles de Cavalieri presenta una serie de desventajas: poca generalidad de uso, excesiva dependencia de razonamientos y procedimientos geométricos, sin entrar en su debilidad lógica.
    […]
    Además, de las desventajas del método de los indivisibles muy pronto se empezaron a superar. Así, Evangelista Torricelli (1608-1647), amigo de Cavalieri, los usó de manera magistral, aportando además demostraciones rigurosas al estilo griego, mientras que tanto Fermat como Pascal y Wallis, sin entrar en los infinitesimales de G.P. Roberval (1602-1675), transformaron en aritméticos los procedimientos geométricos de Cavalieri, ampliando en consecuencia, la generalidad y potencia de su uso.

    La verdad está en el límite. El cálculo infinitesimal. - Antonio J. Durán -

    • Pero poco me importa si la geometría me ayuda a entender los conceptos que busco ...

      De hecho, en los indivisibles de Cavalieri se ven con tanta nitided las ideas que, probablemente, llevaron después al cálculo y que nuestros alumnos desconocen porque sólo les enseñamos a calcular, cosa que hoy hacen tan ágilmente las máquinas ...
      Por cierto, la mejor justificación que he encontrado para que mis alumnos de 1º de la ESO vean que "el orden de los factores no altera el producto", es geométrica.
      

      • La multiplicación es conmutativa

  • La maravilla del Cálculo

    El cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza que hayan desarrollado jamás los matemáticos. El proceso de gestación y alumbramiento del cálculo infinitesimal fue muy dilatado en el tiempo: desde que la matemática quedó preñada, si se permite el símil, en el siglo III a. C., cuando Arquímedes usó los primeros argumentos infinitesimales para el cálculo de áreas, y hasta que Newton y Leibniz le sirvieron de comadrones, pasaron casi dos mil años. A ellos hubo que añadir siglo y medio más hasta que Cauchy y Weierstrass “domesticaron” los infinitésimos al encontrarles una adecuada explicación lógica.

    La verdad está en el límite. El cálculo infinitesimal. - Antonio J. Durán -

    • Porque la realidad es compleja

      • Incluso pensando en cortinas.

• ¡Haciendo Matemáticas

  • ¿Qué es un matemático?

    
    […] ¿Qué son las matemáticas?
    Desesperados algunos han propuesto la siguiente definición: “Las matemáticas es lo que hacen los matemáticos”. ¿Y qué son los matemáticos” “Gente que hace matemáticas”.
    Este argumento es casi platónico en su perfecta circularidad. Pero déjame plantear una pregunta similar. ¿Qué es un hombre de negocios? ¿Alguien que hace negocios?. No. Es alguien que “ve oportunidades” para hacer negocios cuando otros podrían pasarlas por alto.
    Un matemático es alguien que ve oportunidades para hacer matemáticas.

    Cartas a una joven matemática - Ian Stewar-

    
    Ya sé que todo el mundo no opinará igual, pero esta definición me gusta; es fácil que, con ella, en mi infenitesimalidad, yo pueda encajar como matemático.

  • Así que mirando a mi alrededor ... me sentí matemático

    • En los lugares más insospechados...

      • Como en la publicidad del intrasdente suplemento dominical de un periódico. (Mujer Hoy del 12 al 18 de Diciembre de 2009)
        Imagen que dió origen a toda esta idea y alguna más que tengo en cartera por si esta sale bien.
        
      • O en una simpática página de Internet de cocina y matemáticas:
        

        http://profeblog.es/blog/jfguirado/2009/05/08/cortador-de-platanos/

    • Paseando por la playa de Zarautz un verano cualquiera ...

      • Mirando los paneles de la pared de una especie de oficina móvil del paseo de Zarauz.
        
      • Mirando una escalera para bajar a la playa y disfrutando del paisaje:
        

      • O en una barandilla de acero inoxidable.

        

    • Aunque también intentando enseñar cosas como el Principio de Cavalieri ...

      • De hecho, en vez de repartir la tan socorrida lista de fórmulas para que los alumnos memoricen ...
        
        
      • Me encanta hablar de otras cosas para que piensen:
        
        

  • Porque las matemáticas me apasionan ...

    
    Sí, porque las matemáticas son una de mis pasiones, pensé que:
    

    • Sería fantástico motar un taller para alumnos hablando del Principi de Cavalieri
    • Sería fantástico contarlo para que la gente lo aprecie y pueda disfrutar
    • Sería increible que los profesores de todos los institutos y colegios de La Rioja colaborasen y fuese una gran fiesta de todos.

    
    

    
    —Medión —dijo, respirando con dificultad—, júrame que nunca, jamás, abandonarás las matemáticas.
    Arquímedes lo miró, sorprendido.
    —¡Padre, sabes que abandonar las matemáticas es lo último que deseo en el mundo!
    —No, lo último que deseas en el mundo es que tu familia se muera de hambre o sufra... y eso está bien, eso debería ser lo último que permitieses. Pero prométeme que por más cansado que estés cuando hayas acabado tu jornada laboral, por más duro que te resulte encontrar tiempo para seguir aprendiendo, por más que nadie te entienda, nunca las abandonarás y te entregarás a ellas en cuerpo y alma. Júramelo.
    Arquímedes dudó, luego se acercó a la jofaina con agua que había junto a la cama, se lavó las manos ceremoniosamente y las levantó hacia el cielo.
    —Juro por Apolo délico y por Apolo pitio —declaró en tono solemne—, por Urania y todas las musas, por Zeus, la Tierra y el Sol, por Afrodita, Hefesto y Dionisos, y por todos los dioses y las diosas, que nunca abandonaré las matemáticas ni permitiré que la chispa que los dioses han prendido en mí se apague. Si no mantengo mi compromiso, que todos los dioses y diosas por los que he jurado se enfurezcan conmigo y muera de una muerte miserable; y que si lo cumplo, me sean favorables.
    —Que así sea —musitó el anciano.
    Arquímedes se acercó de nuevo a la cama, tomó la mano de Fidias y le sonrió.
    —Pero no necesitaba jurarlo, padre —dijo—, pues, por más que intento dejarlo, por más que me digo a mí mismo: «Se acabaron los juegos», nunca funciona. No puedo dejarlo. Y tú lo sabes.
    Fidias le devolvió la sonrisa.
    —Lo sé —susurró—, pero no quiero que lo intentes siquiera. Ni por catapultas ni por nada.

    El contador de Arena - Gillian Bradshaw -

  • Y aunque no me guste al 100% la idea de Hardy, en algo tiene razón.

    
    La función de un matemático es hacer algo, es probar nuevos teoremas, es contribuir a las matemáticas y no hablar sobre lo que él u otros matemáticos han hecho. Los estadistas desprecian a los publicistas, los pintores menosprecian a los críticos de arte, y fisiólogos, físicos o matemáticos tienen normalmente sentimientos parecidos; no hay desprecio más profundo, o en su conjunto más justificable, que aquél que sienten los hombres que crean hacia los hombres que explican. La exposición, la crítica y la apreciación son tareas para mentes de segunda clase.

    Apología de un matemático - G.H. Hardy -

    
    Bien es verdad que, si siguiesemos a pies juntillas la opinión de Hardy, este Seminario no existiría.

Montando nuestro Taller con Cavalieri

• ¡Viva la imaginación ...!

  
  Quien busca en la ficción lo que no tiene, dice, sin necesidad de decirlo, ni siquiera saberlo, que la vida tal como es no nos basta para colmar nuestra sed de absoluto, fundamento de la condición humana, y que debería ser mejor.
  Inventamos las ficciones para poder vivir de alguna manera las muchas vidas que quisiéramos tener cuando apenas disponemos de una sola.
  […]
  La literatura "( y la matemática )" crea una fraternidad dentro de la diversidad humana y eclipsa las fronteras que erigen entre hombres y mujeres la ignorancia, las ideologías, las religiones, los idiomas y la estupidez.

  Elogio de la lectura y la ficción - Mario Vargas Llosa -

  • ¡Viva el pensamiento!

    
    
    Que no, que no, que el pensamiento
    no puede tomar asiento,
    que el pensamiento es estar
    siempre de paso, de paso, de paso...
    
    Quien pone reglas al juego
    se engaña si dice que es jugador,
    lo que le mueve es el miedo
    de que se sepa que nunca jugó.
    
    La ciencia es una estrategia,
    es una forma de atar la verdad
    que es algo más que materia,
    pues el misterio se oculta detrás.

• Demos algunas vueltas para empezar

  No es difícil, aplicando el Principio de Cavalieri, observar que un círculo es, un conjunto de segmentos indivisibles que, con una "régula común adecuada" coinciden con los de un triángulo.
  

  • Viendo un círculo como un triángulo ... gracias a Cavalieri

    
    Bien es verdad que, la argumentación de que:
    
    "Todo círculo es como un triángulo rectángulo cuyo radio es iagual a uno de los lados que forman el ángulo recto y el perímetro es igual a la base"
    
    Ya la estableció Arquímedes en su tratado titulado Medida del círculo
    Pero no es menos cierto que su demostación se basaba en el principio de exahución y no en la idea del principio de Cavalieri o, tal vez, en una idea suya desarrollada con posterioridad y que luego, otros como Cavalieri, aplicaron
    
    

  • Un circulo de revolución

    De hecho, como podemos apreciar, el área del círculo visto así, nada tiene que ver con la idea de una figura de revolución o de giro.

  • Una bandera triangular

    El principio de Cavalieri, por el contrario, nos permite ...

• ¿Qué es una elipse en realidad?

  ¿Cuántas cosas distintas me han contado sobre una elipse y cuantas de ellas disconexas entre sí? (Paradójicamente, la elipse define "algo muy conexo" o, tal vez, sólo "conexo")
  Pero no es lo malo lo que a mi me contaron sino lo que nosostros seguimos contando a tanta gente que dejará de ver elipses muy pronto y nunca le quedará nada de ellas.
  Ni siquiera para entender al menos una escena de una película como, por ejemplo, Ágora

  • Alguien me contó que salía de un cono ...

  • Otros, o tal vez los mismos, pero en un "tema diferente", me dijeron que tenía dos focos.

  • Los menos, aunque parezca increible, que también, si cortaba un cilindro ...

  • Y ninguno ...

  • Pero entonces, ¿qué es lo importante?

    
    
    Ahora si, parece que ya empiezo a entender
    Las cosas importantes aquí
    Son las que están detrás de la piel
    Y todo lo demás….
    empieza donde acaban mis pies
    después de mucho tiempo aprendí
    que hay cosas que mejor no aprender.
    
    El colegio poco me enseño…..si es por esos libros nunca aprendo

  • Y regresando con Cavalieri

    • Puedo calcular el área de una elipse ...

      De una manera sencilla y elegante.

• Y ahora juguemos con las pirámides

  • Una pirámide de cuadrados

    Sólo tenemos que cortar cuadrados de cartón pluma, de cartón, de papel, ..., hacerles unos agujeros y ...

  • El volumen de una pirámide de cuadrados

    Tendríamos que poder generalizar el resultado para pirámides cualesquiera.
    De hecho, un bonito ejercicio es hacer lo mismo que en el applet anterior pero para una pirámide de base rectancular

• ¡Qué parábola: La cuadratura de la parábola y la cubatura de la esfera!

  
  Vamos a darnos una ligera licencia e iremos más allá de lo que el propio Cavalieri fué. De hecho, mezclaremos un poco el indivisible geométrico de Cavalieri con lo que Wallis, Roberval y otros hicieron después, dándoles un valor numérico y poniendo así una nueva piedra en el camino hacia el cálculo.
  
  ¿Por qué no? Seguro me todos vosotros me entendéis ...

  
  Fidias era la única persona que lo había comprendido a medida que iba haciéndose mayor. A menudo, Arquímedes sentía que todos los demás tenían un punto ciego en medio de la cabeza. Podían mirar un triángulo, un círculo, un cubo... pero no los veían de verdad. Lo explicaba una y otra vez, pero no comprendían. Explicaba la explicación, y lo miraban perplejos, preguntándose en voz alta por qué motivo aquello era tan maravilloso. Pero lo era, indeciblemente maravilloso. Aquello era todo un mundo, un mundo sin existencia material, pero iluminado por la razón pura, y los demás eran incapaces de verlo. Excepto Fidias. Su padre se lo había mostrado, le había enseñado sus formas y sus reglas, y había compartido con él todas sus exclamaciones de asombro. Cuando Arquímedes se hizo mayor, siguieron explorando juntos ese otro mundo. Habían conspirado, reído juntos con el ábaco, discutido axiomas y demostraciones. En las noches claras, caminaban el uno al lado del otro por las colinas para observar las estrellas y calcular la distancia de la Luna. Sólo ellos dos, en toda Siracusa, se sentían como en casa en aquel mundo invisible. Los demás, incluso los más cercanos y queridos, quedaban siempre fuera.

  El contador de Arena - Gillian Bradshaw -

  
  

  • La cuadratura de la parábola

    Ya Arquímedes había cuadrado la parábola de varias formas diferentes. Incluso una de ellas con un método mecánico, con sus palancas, reconociendo él mismo que no se trataba de un método totalmente riguroso.
    De algún modo hemos dado un valor numérico a cada indivisible.

  • La cubatura de la esfera

    Arquímedes se sintió especialmente orgulloso de haber encontrado la relación entre la esfera y el cilindro que la contiene, llegando a pedir que sobre su tumba pusiesen un dibujo con una esfera dentro de un cilindro y la relación 3 / 2 entre el volumen del cilindro y el de su esfera contenida.
    Yo también me encuentro moderadamente orgulloss de haber cubado la esfera utilizando sólo, el Principio de Cavalieri.
    Como le sucedía a Cavalieri, el método no es totalmente riguros, pero funciona.

• ¿Y la demostración?

  
  En realidad Cavalieri nunca puedo demostrar con rigurosidad su principio.
  Geometría indivisibilibus continuorum quadam nova ratione promota es un libro extenso, lleno de texto, en ocasiones enrevesado y, no tiene el rigor de una demostración matemática.
  Como decía Durán, él no fue capaz de "domesticar" sus Indivisibles, no tenía las herramientas y, como hemos comentado, tal vez las "gónadas" se le ponían de corbata visto cómo se las gastaba la Santa Inquisición, si lo intentaba con más ahinco.
  Y la demostración es la base en Matemáticas, es la esencia.
  Pero Cavalieri tenía claro que su método funcionaba. De hecho, el dió la idea y alguien lo formalizó después.

  • Sin embargo este comentario me permite meter con pinzas esta nueva cita

    (Domingo 12 de Abril de 1931) - No me digas que no has encendido la radio en todo el día – le dijo. - Prefiero enterarme de lo ocurrido por tu boca. Es más divertido – argumentó Jesús. - Mañana, si se proclama la República, no te dejaré solo en casa. Saldremos juntos a la calle – prometió Francisca -. Pero a mi no me engañas, estás preocupado por algo y no creo que tenga nada que ver con la política. - He recibido una carta de mi amigo griego. - ¿Le ha pasado algo? - De salud está bien, pero el asunto que me cuenta no sólo le afecta a él, sino a todos los matemáticos del mundo. Junto a la carta me ha enviado un artículo científico realmente inquietante. - ¿Puedo saber de qué se trata? - Aún no lo he descifrado del todo, pero Petros anuncia una catástrofe. Según él, un joven lógico y matemático de Viena acaba de demostrar en ese artículo la existencia de teoremas que, aun siendo ciertos, no pueden probarse ni refutarse. -¿A ti y a mi qué nos va en ello? – inquirió Paquita evangélica. - A ti puede que poco, pero a mí sí y mucho. Puedo estar persiguiendo una ilusión, metido en una trampa urdida en el siglo XVII por el matemático francés del que te he hablado (se refiere a Fermat 1601 - 1665) […] Una semana más tarde, Jesús escribió a Petros confirmándole los malos presagios. A su juicio, el artículo del vienés no tenía fallos. […] Petros contestó a vuelta de correo con una carta casi desesperada. « He viajado a Viena y me he entrevistado con el individuo en cuestión. Es un tipo muy joven, bajito y miope, que se cubre los ojos con unas lentes tipo culo de vaso. Fui directo al grano y le pregunté si existía algún procedimiento para saber, a priori, si un teorema tiene demostración o no la tiene. Aquel pichafría me contestó, completamente en serio, que toda conjetura puede, en principio, ser indemostrable.» […] Me entraron ganas de estrangularlo, pero me contuve. Para acabar de adornar este fiasco, has de saber que Russell y Witehead, nada menos, han escrito que la prueba de ese enano, que ni siquiera es vienés, sino moravo, resulta irreprochable. De hecho, el término que han empleado es sublime. ¿Te acuerdas de la frase de Hilbert: «En Matemáticas no hay ignorabimus»?. Pues a la mierda, es lo más suave que se me ocurre decir. El rescoldo - Joaquín Leguina -

• El volumen de pirámides y cilindros

  • El volumen de cualquier cilindro inclinado

  • El volumen de cualquier cilindro, o de cualquier cilindro con desviación de columna

    Aplicando pues el principio de Cavalieri podemos afirmar que el volumen de cualquier cilindro, por extraño que éste sea, por mucho que tenga desviada la columna será igual a área de la base por la altura

    La idea que hemos enunciado como principio de Cavalieri vuelve a cobrar aquí toda su dimensión y lo hace cuando la figura en cuestión es "totalmente curva"

  • El volumen de cualquier pirámide, o de cualquier pirámide con lumbago ....

    Aplicando pues el principio de Cavalieri podemos afirmar que el volumen de cualquier pirámide, por extraña que esta sea, es igual a 1/3 del área de la base por la altura

• Sobre Conos, Esferas y Elipsoides

  • El volumen de la esfera, o del cono, o del cono y la esfera ...

    Ya Arquímedes, en su obra "Sobre la esfera y el Ciclindro" había establecido la relación entre cono, cilindro y esfera. Además, había calculado el volumen de la esfera con una aproximación muy buena de π

  • El volumen del elipsoide, o del cono o del cono y del elipsoide ...

    Recordemos aquí dos de los problemas presentados al hablar de Matemáticas y Realidad. Podemos ahora dibujarlo y resolverlo. También el procedimento de cálculo incorporado mediante Javasctript nos ayuda.

• Cuadrando la cicloide para terminar esta parte

  • La cuadratura de la Cicloide

    
    El 1634 Gilles Personne de Roberval determinó la forma de la cicloide y, unos años después, consiguió cuadrarla utilizando con maestría los indivisibles de Cavalieri.

Se trataba de preparar una fiesta una tarde-noche de Abril

• Comencemos ...

  
  
  Esta noche hay una fiesta
  Vamos todos a la fiesta
  La noche acabará, el día llegará, el sol también vendrá a nuestra Fiesta
  
  Luces brillan en la Fiesta
  Hay música en nuestra Fiesta
  Allí voy a encontrar amigos de verdad
  qué bien voy a pasarlo en la Fiesta.

• El taller del Viernes 8 de Abril, por la tarde

  El viernes 8 de Abril vamos a realizar la charla taller para los chicos de Bachillerato.

  Como ha pretendido esta charla, buscamos algo lúdico, entretenido, algunos pensarán que ridículo ... ¡No me importa!

  Las matemáticas pueden ser divertidas o, mejor dicho, también se pueden hacer divertidas, por lo menos, hasta cierto punto.

  Es posible, en cualquier caso, hacer que la gente venga a una charla de matemáticas, se divierta e incluso aprenda algo.

  Ese será nuestro objetivo pero, me gustaría que, además, la gente que asista se sienta parte del espectáculo, haya participado en algo.

  Por ello os invito a que animéis a vuestros alumnos a ser parte de la fiesta. Que transmitáis entusiasmo:

  • Me gustaría tener música en vivo. Tenemos muchos alumnos que tocan el piano, la guitarra, la batería, el violín, ....
  • Me gustaría que todos los que podáis os impliquéis en desarrollar alguno de los elementos que habéis visto en esta charla con materiales diversos: papel, cartón, madera, cuerdas, pelotas, ...
    • CD's usados
      Espero poder formar un rascacielos con todos los que hagáis llegar
      
    • Conos, esferas y varios de polexpan
      Las hemos conseguido en di-dac.
      
    • Cartón pluma de 3mm. y de 10mm. Mucho cartón pluma
      Lo tenéis en papelerías. Nosotros lo hemos conseguido en Escala
      
    • Material especial en madera y/o metal
      Espero contar con la colaboración del IES Rey Don García y del IES Cosme García
      
    • Otros materiales que tu imaginación utilice ...
      
  • Me gustaría tener tanta gente interesada en asistir y divertirse que tuviéramos que poner "numerus clausus" (que además suena de lo más culto)
  • Me gustaría, en definitiva, haber conseguido transmitirte una parte de mis expectativas y mis ilusiones y que éstas hayan calado un poco en tí.

• La Prueba de Primavera del 9 de Abril. La noche Matemática de acogida

  El sábado 9 de Abril es la prueba de primavera. Algunos de los asistentes al taller es posible que vayan a participar a la mañana siguiente. Otros, simplemente no tendrán un combinación de transporte adecuada para volver.

  Por ello os propongo una noche Matemática de acogida. Que animéis, los unos, a que los alumnos de Logroño reciban en su casa por una noche a uno de los chicos o chicas que acuden de los pueblos; los otros, a que los alumnos de los pueblos se queden esa noche en Logrono acogidos.

  Que el taller de Matemáticas y la Prueba de Primavera de Matemáticas sirvan de excusa para hacer amigos.

  El sábado por la mañana, quienes asistan a la Prueba de Primavera, ya estarán aquí y quienes no asistan tendrán mayor facilidad para volver a sus casas en autobús, tren, ...

• Con tu ayuda ... Fiestas de futuro

  • Sólo con vuestra ayuda esto tiene sentido y futuro.
  • Sólo si os lo creéis esto podrá salir adelante
  • Si todo sale bien, podremos repetirlo cada año, en el futuro y que se convierta en una tradición lúdica, entretenida, ambiciosa y amena.
  • Nada es imposible con ganas e ilusión.
  • De vosotros depende, en vuestras manos pongo la semilla de esta idea. Vosotros sois los profesores ...

La charla a tu alcance