Prólogo

• Hace unos 6 años

  Pues sí, hace unos 6 anños comenzaba la siguiente charla:

  GEOGEBRA COMO RECURSO DIDÁCTICO
  Seminario de Actualización en Matemáticas
  UR, 20 de Febrero de 2008

  Con la siguiente cita:

  "Mala cosa es –exclamó Eduardo– que ahora ya no se pueda aprender para toda la vida. Nuestros antecesores se atenían a la instrucción que habían recibido en su juventud; nosotros, en cambio, debemos volver a aprender cada cinco años si no queremos quedar completamente pasados de moda."

  Las afinidades electivas. (Goethe 1809)

  6 años después Geogebra y yo hemos evolucionado. Yo he aprendido algunas cosas y hoy puedo decir que ya he leído LAS AFINIDADES ELECTIVAS de Goethe. Entonces confesé que no, pero que la cita me pareció muy interesante e irresistible. Sobre Geogebra hay muchas más cosas que contar ...

  Decía entre otras cosas en aquella introducción que la última actualización de Geogebra era, entonces: Geogebra 3.0 (RC 5) de 10 de Febrero de 2008.
  Pero, apenas un año largo después...
  

• En Noviembre de 2009

  APLICACIONES DE GEOGEBRA 
  I Jornadas de Matemáticas de la Sociedad Aprima 
  Logroño, 20 y 21 de Noviembre de 2009 

  Al hablar también de Geogebra en una charla que tal vez sea el motivo de que hoy esté aquí, decía:

  • ¿Qué es Geogebra?

    GeoGebra: es un software libre escrito en Java y, por ello, disponible en múltiples plataformas (Sistemas operativos). Está diseñado para interactuar dinámicamente en un ámbito en que se reúnen la Geometría, el Algebra y el Análisis o Cálculo. Puede ser usado para Matemáticas, Fisica, Dibujo Técnico,... Fue especialmente diseñado para utilizarlo en la enseñanza a nivel de la escolaridad media.
    Su creador, Markus Hohenwarter, comenzó el proyecto en el año 2001 en la Univesidad de Salzburgo y lo continúa en la Universidad de Atlantic, Florida.
    Su categoría más cercana es "software de geometría dinámica" pero supera ámpliamente las limitaciones de esta categoría. En GeoGebra puedes hacer construcciones con puntos, segmentos, líneas, cónicas -mediante el ratón o con instrucciones en el teclado-, y todo eso modificable en forma dinámica: es decir que si algún objeto depende B de otro A, al modificar A, también se actualiza B. Pero también puedes definir funciones reales de variable real, calcular y fraficar sus derivadas, integrales, etc...

    La última actualización es: Geogebra 3.2.30.0 de 22 de Septiembre de 2009.
    

  • ¿Como lo consigo?

    
    GeoGebra es un software libre bajo licencia GNU que puedes descargar en su página web de referencia http://www.geogebra.org.

    Aquí podrás encontrar:

    • El software para descargar casi para cualquier plataforma y sistema operativo.
    • La ejecución Web Start para si no quieres instalarlo en el ordenador sino ejecutarlo en línea siempre con la última versión disponible.
    • Ayuda de todo tipo en infinidad de idiomas.
    • Ejemplos variados para que veas sus posibilidades.
    • Geogebra Wiki
    • Soporte
    • ...

  • ¿Qué necesito para que Geogebra funcione en mi ordenador?

    
    GeoGebra es un software hecho en lenguaje Java y, por tanto, necesitamos el software de Java instalado previamente en nuestro ordenador. En la página http://www.java.com puedes verificar si lo tienes instalado, bajarlo si no lo tienes o actualizarlo si es preciso.

• Hoy, Día Geogebra de Aragón, 22 de Marzo de 2014

  Algunas cosas siguen igual, no tienen mas que ver el formato de esta presentación ... Pero rasquemos un poco más y veremos que el mundo es muy distinto ahí afuera.
  Geogebra no ha parado de evolucionar ...

  • Versiones y más versiones
  • Nuevas propuestas incorporadas.
  • Más funcionalidades a nuestro alcance
  • Un poco más de complejidad. Obviamente cuanto más se abarca más difícil es controlarlo
  • Nuevos errores. Nuevos arreglos y constantes cambios para rectificar "bugs"
  • Un no parar de cambiar para mejorar... Un símbolo de lo que son los tiempos, un símbolo de lo que debía ser la educación, un símbolo de lo que debían ser los docentes
  • Las tablets y los dispositivos móviles se han hecho cada vez más omnipresentes y Geogebra, naturalmente, ha querido estar ahí también
  • HTML5, el esperado, ha aparecido y Geogebra busca su adaptación completa al nuevo estándar
  • Hasta el nombre/logo cambió ligeramente para darle un estilo más dinámico

  • ¿Qué es hoy Geogebra?

    GeoGebra: GeoGebra es un software libre, de matemática para educación en todos sus niveles, disponible en múltiples plataformas. Reúne dinámicamente, aritmética, geometría, álgebra y cálculo e incluso recursos de probabilidad y estadística, en un único conjunto tan sencillo a nivel operativo como potente. Ofrece representaciones diversas de los objetos desde cada una de sus posibles perspectivas: vistas gráficas, algebraica general y simbólica, estadísticas y de organización en tablas, planillas y hojas de datos dinámicamente vinculadas. Ha recibido numerosas distinciones y ha sido galardonado en Europa y USA en organizaciones y foros de software educativo.

    Pero una de las cosas que más me gusta de toda la "descripción / publicidad" que podemos leer de Geogebra:

    Es un utilitario de Matemáticas para enseñar y aprender, desde nivel primario hasta universitario
    y, añado yo, excelentemente documentado.
    

    Siento decepcionarles pero no hay excusa válida ...

    La última actualización oficialmente es: Geogebra 4.4 de 1 de Diciembre de 2013.

  • ¿Como lo consigo hoy?

    
    GeoGebra es un software libre para uso no comercial que puedes descargar en su página web de referencia.
    Aquí podrás encontrar:

    

    • El software para descargar casi para cualquier plataforma y sistema operativo.
    • La directamente en la web para si no quieres instalarlo en el ordenador sino ejecutarlo en línea siempre con la última versión disponible. (Siempre que te funcione)
    • Ayuda de todo tipo en infinidad de idiomas.
    • Comunidad con información diversa
    • Materiales de todo tipo a través de GeogebraTube (¿Un avance si, pero... en cosntante evolución?)
    • ...

  • ¿Qué necesito para que Geogebra funcione en mi ordenador, tablet, ...?

    • GeoGebra es un software hecho en lenguaje Java y, por tanto, necesitamos el software de Java instalado previamente en nuestro ordenador. En la página http://www.java.com puedes verificar si lo tienes instalado, bajarlo si no lo tienes o actualizarlo si es preciso.
    • Geogebra ha buscado desde su origen integrarse con páginas HTML porque eso daba posibilidades web 2.0 y la forma de difundir contenidos más eficaz hoy en día. Así que su integración con la web ha sido un eje importante. Pero la evolución del mundo ha llevado a que:
      1. Las "antiguas páginas web dinámicas" basadas en un estándar obsoleto en HTML de integración de Applets, se han modificado.
      2. El propio Java y sus applets han evolucionado también y ahora tenemos los ficheros JNLP
      3. La posibilidad incipiente de integración directa en HTML5 sin software de Java en el cliente para la visualización de contenidos web con Geogebra se está haciendo y, con ello, se conseguirá el mejor funcionamiento en cualquier dispositivo móvil
      4. ...

• Y tú ... ¿Cuánto ha cambiado tu forma de enseñar o de ver la educación en estos años?

  Aunque nos engañemos con ello, el mundo no es cada vez más sencillo. El mundo es más complejo porque es más rico, más pleno, con más conocimientos y posibilidades.

  • ¿Sigues enseñando o aprendiendo a Matar Dragones?

    Desde hace ... mucho tiempo ... los contenidos de algunas de las materias de la Enseñanza Primaria y Secundaria se han matenido, tendiendo a la baja, pero no han evolucionado.

    "Aprendimos a matar dragones" porque era lo que había hace años, pero el mundo cambió y los dragones ya desaparecieron o, tal vez, nunca estuvieron allí

    • Seguimos hablando de propiedad distributiva o factor común, de mecánica de operatoria con fracciones antes de intentar conseguir que la gente "vea los números y los entienda"
    • la FÓRMULA DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO ES IMPRESCINDIBLE
    • Nunca he visto un polinomio por la calle pero a los alumnos que van a estudiar la Enseñanza Secundaria, sin excepción, les enseñamos a multiplicar y dividir polinomios antes que a trabajar con estadística o probabilidad.
    • Hay nuevos "monstruos sociales" que están a la orden del día como los bits, bytes, Megas, Gigas, ... y el trabajo con el sistema binario ahora no se hace. ¿Qué te voy a contar de ASCII o Base64?
    • Todos tenemos una calculadora, vemos números grandes y pequeños, ... pero enseñamos antes recetarios clásicos que a usar la calculadora y, por supuesto, a entender y usar la notación científica.
    • Todos los alumnos que acaban del bachillerato "han visto cómo se deriva". Si hoy se quisieran presentar a cualquier oposición (por ejemplo a las de profesor de Enseñanza Secundaria o Primaria), muy pocos sabrían calcular la probabilidad de que les salga un tema de los que ellos han estudiado. (Los Sindicatos colaboran a la incultura general mediante una inmensa tabla que algún "¿matemático?" habrá sido capaz de hacer con una simple distribución binomial o, incluso, usando el sentido común.)
    • ¿Qué me dicen del TAE de un depósito bancario? Omnipresente en nuestra vida y ... preguntemos a ver quién sabe lo que realmente es y cómo se calcula fuera de esa magistral fórmula:
      
      r : es el tipo de interés (mensual, semestral...) expresado en tanto por uno
      f : frecuencia de pagos de intereses: 12 si el tipo es mensual, 6 si es bimestral, ...
    • De cada 100 personas de la calle "es probable que 101" opinen que, es más difícil que el gordo de la Lotería de Navidad sea el 55555 que el 34567.
    • ...

  • ¿Dónde está esa escuela exponente de la evolución social? ¿Esa institución que es de las primeras que se adapta a los nuevos tiempos?

    ¿Pero, dónde está lo más importante de los tiempos que nos toca vivir?. Dónde está la evolución constante, el análisis de nuevas necesidades, la visión de la historia de nuestra ciencia desde la comprensión de su contexto, la pretensión de que muestros alumnos vean las Matemáticas y no los simples algoritmos repetitivos del próximo examen

    ¿Dónde están las matemáticas que enseñas, integradas en tu vida fuera de tu endogámico trabajo?

    ¿Te has planteado, tal vez, integrar en tu vida, en tus clases, cosas como las siguientes? Podría ser fantástico y estaría muy relacionado con lo que tú debes hacer en un centro de educación:

    • Saber qué es la web 2.0 y por qué la web 3.0 se ha convertido en un nombre sin despegar, sería bueno para conocer mi mundo
    • No estaría mal entender algo o, al menos, no asustarme cuando me hablan de Applets y Java (igual que hace ya muchos años) y ver porqué Geogebra busca otros espacios
    • Pero tampoco estaría mal saber de HTML y de la importancia del HTML 5 como evolución soñada de la torre de Babel que es y ha sido el HTML.
    • Por supuesto que hablar de HTML dinámico y hoy de HTML sin acompañarlo de Javascript y CSS es como tener un novia fantástica a 3000km. de distancia
    • Qué decir de Base64 si miramos un poquito la implicación de Geogebra con HTML y más hoy con Geogebratube

    Ciertamente podemos seguir viviendo sin saber nada de todo ello y funcionar "más o menos igual", pero, quizá algún día la escuela cambie lo suficiente como para ser lo que debería ser, el exponente del cambio de la sociedad, la primera que se adapta a él, el lugar donde la gente va, de verdad, a aprender las cosas que la sociedad demanda, además de todas las que demandó o usó.

    

¿De qué va esta charla?

• De estar en continuo movimiento ... sin olvidar nuestros orígenes

  • Si esta charla hubiera sido una semana más tarde o una semana antes

    Si esta charla se hubiese delebrado una semana antes o una semana después, no hubiera sido igual. Tenía una idea qué, desde luego, está en ella y es su hilo conductor, pero ni los actores, ni la puesta en escena, ni los diálogos hubieran sido los mismos.
    Hace apenas unos días un alumno me preguntó sobre el libro El Teorema del Loro de Denis Guej. En realidad, me lo preguntó porque sus padres habían oído hablar de él. Yo le dije que lo tenía y que, si quería se lo dejaba.
    ¡No estoy nada seguro de que le guste y pueda acabarlo! Así que, lo he releído (Hace unos cuantos años lo empecé y me pareció tan forzada la historia que no lo terminé) y he ido subrayando cosas para que le vayan llamando la atención y poder tenerle atado al libro hasta el final.
    Pero resulta que eso ha sido determinante para la escenificación de esta charla porque he ido asociando las ideas que tenía con algo que me parece fundamental ... "la historia y el por qué de las matemáticas que estudiamos, su evolución, y he ido enlazando algunos de los párrafos y frases que he subrayado para mi alumno con ellas.
    Así que, aparecerán muy a menudo como ahora ...

    "Jonathan, como todos los estudiantes del mundo, había estudiado a Tales en diversas ocasiones. En cada una de ellas, el profesor había hablado del teorema pero nunca del autor. En las clases de matemáticas nunca se habla de las personas sino de sus teorías.[...] Las fórmulas [...] llenaban la pizarra sin indicar quién las había creado, como si existieran desde siempre"

    El Teorema del Loro. (Denis Guej - 2000)

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  • Nuestro sistema de numeración no viene de Grecia ...

    Sí, muchas veces hablo de Grecia a mis alumnos. De la Grecia antigua, de esa que llegaba hasta el sur de italia y, por supuesto, el norte de África. De Carlo Magno y, obviamente, Alejandría, de las ciudades estado, ...
    

    

    En cuanto a la aparición del cero, ¡fue deslumbrante!
    Alguien -¿quién?- un día tuvo la idea de crear un signo particular para dar a entender que la columna estaba desocupada: un redondel pequeño[...]
    No parecía nada espectacular, pero fue un salto enorme, ¡Una ausencia marcada por una presencia!¡Un vacío como un lleno![...]
    A la pregunta "¿Cuánto hay?", la aparición del cero en el campo de los números transformó la respuesta negativa "NO HAY nada" en una aserción positiva: "HAY cero". 0 se convirtió en una cantidad. como otra, revolucionando el estatuto del número.

    El Teorema del Loro. (Denis Guej-2000)

    En general, disfruto muchísimo en mis clases pero algunos momentos se recuerdan siempre

    • Jorge, me dijo un alumno de 4º de ESO levantando la mano, he oído hoy por la radio algo que me ha asombrado y no lo he entendio, ¿me lo puedes explicar?
    • Adelante, probemos a ver si sé ...
    • Han dicho que el CERO no es un número, es un concepto

    • Nuestro sistema de Numeración, ¿cómo no?

      Pero nuestro sistema de numeración con sentido. Explicando los conceptos y no como simple automatización. Estamos en el siglo XXI.
      Ahora se ha puesto de moda un sistema "revolucionario" que empresas privadas llevan a los colegios de primaria como actividad extraescolar y cuya herramienta fundamental es el ábaco.

      • ¿Ábaco extendiendo lo que hacemos?

    • ¿Por qué no se estudia en la escuela, a fondo, el sistema posicional de numeración

      Hoy, no se puede vivir sin binario, sin Hexadecimal, sin saber lo que es la codificación ASCII o el base64
      ¿O, sí?
      Me explicaré, como lo hago en clase: Si explotase ahora mismo la bomba anti-binario, anti-Hexadecimal , anti-ASCII ó anti-Base64, ¿cuantas cosas de las que tienes a tu alrededor desaparecerían?
      YO, os aseguro, que no tendría manos para sujetar todo lo que se iría a hacer puñetas de mi entorno, empezando por mi cabeza ...
      Pensándolo bien, ¿Qué suerte tienen los que ignoran estas cosas? Les bastaría con sujetar, tal vez, su smarphone y su cartera.

      Base 64 es un sistema de numeración posicional que usa 64 como base. Es la mayor potencia de dos que puede ser representada usando únicamente los caracteres imprimibles de ASCII. Esto ha propiciado su uso para codificación de correos electrónicos, PGP y otras aplicaciones. Todas las variantes famosas que se conocen con el nombre de Base64 usan el rango de caracteres A-Z, a-z y 0-9 en este orden para los primeros 62 dígitos, pero los símbolos escogidos para los últimos dos dígitos varían considerablemente de unas a otras.

      Base64 según Wikipedia - http://es.wikipedia.org/wiki/Base64 -

• De Geogebra como símbolo de evolución y de una nueva educación

  Puedes decidir aquí si los ficheros de Geogebra incorporados en esta presentación se van a abrir, aunque después, podrás modificarlo en cada caso. Ahora está seleccionado el modo:	Método nuevo: GeogebraWeb(HTML5) Para navegadores que ejecuten HTML5. Ventaja: más rápido y compacto. No necesitas el plugin de Java en tu navegador. Desventaja: problemas con algunas funcionalidades de Geogebra hasta que todo se afine. Sirve para navegadores que ejecuten HTML5.	Método clásico como Applet de Java. Ventaja: Todas las opciones de Geogebra funcionan. Desventaja: Necesidad del plugin de Java instalado para que ayude a tu navegador a mostrar los ficheros de Geogebra.
  Necesitas conexión a Internet, un usuario con acceso a Geogebratube y la ubicación o identificador del material que quieras visualizar.
  Tú eres el responsable total de tener todo configurado en tu PC Local. Necesitas tener los materiales de Geogebra y la configuración con todo lo necesario según elijas HTM5 o Java

  
  Para visualizar esta charla, por el tipo de algunos materiales y los problemas que dan en otras condiciones con el estado actual de Geogebra, aconsejo que se vean en la opción Local: Applet de Java.
  Pero, uno de los objetivos de la misma es ver algunos de esos problemas y aprender por qué suceden, si son resolubles o no, etc. Bien es verdad que, esas cosas se hacen de palabara en la exposición y no están "escritas" para quien la visualice por Internet.

• De ver las matemáticas de otro modo ...

  • Un cuento de Vaqueros ... igual que siempre

    ... Tres vaqueros atracan un banco en un pequeño pueblo del oeste.
    Uno de ellos cae herido en el atraco pero el jefe de la banda (persona honrada donde las haya a pesar de ser atracador de bancos), no lo abandona, lo cuida y reparte el botín en 3 partes iguales.
    Lamentablemente, a pesar de los cuidados de sus compañeros, el herido muere y, después de enterrarlo, toman su parte del botín y se la dividen entre los dos que han quedado con vida. Con ello, cada uno se lleva la mitad del botín.
    ...Y colorín colorado, este cuento se ha acabado

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  • Gráficamente con Geogebra ... hace unos años

    El cuento de vaqueros con Geogebra, sin mucha floritura ni colorido. Vamos a la esencia.

    • La honrada banda de ladrones

  • Viendo las matemáticas ...

    Imagino que te habrás dado cuenta, porque de eso se trata... de ver las matemáticas, de hacer ver las matemáticas
    Así que veamos que el álgebra es mucho más fácil con sentido común:
    Lee despacito, muy despacito y déjate llevar: "Un tercio ....... más ....... la mitad de otro tercio"
    ¿Ya?¿Necesitas más ayuda: "La tercera parte ....... y ....... la mitad de otra tercera parte"

    $$ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} · \frac{1}{2} \, = \, \frac{1}{2} $$

    
    ¿Se te ocurre una generalización inmediata ...?¿Piensa en el cuento, piensa en la presetación geométrica, ... deja el Álgebra para martirizar el lunes a tus alumnos?

• De enseñar, de acuerdo a los tiempos ...

  • No puedo creerme que aún se enseñe así

    Los calculistas profesionales ya desaparecieron, las operaciones, gracias a Dios, no son ya un misterio para el común de los mortales civilizados (¡qué mentira!). Incluso los delineantes quedaron obsoletos por el cambio de los tiempos ... Ya pocascosas quedan tan obsoletas como nuetra forma de enseñar.

    Desde el siglo XII no habían cesado de traducir las obras de al-Jwarizmi. Su obra sobre el cálculo indio: Dixit algorismi, se convirtió en la Biblia de la matemática[...]
    La introducción del nuevo cálculo fue una verdadera revolución, con sus detractores y partidarios, abacistas y algoristas, enfrentados en campos irreconciliables. Los primeros, que pertenecían al gremio de calculadores profesionales, defendían sus privilegios.
    "Hacer una operación", este hecho tan simple,[...] para la inmensa mayoría de los hombres en ese tiempo, era simplemente inimaginable, y sólo una minoría reducida sabía calcular. A lo largo de los primeros siglos del segundo milenio, saber multiplicar abría todas las puertas de la alta administración.

    El Teorema del Loro. (Denis Guej-2000)

    ---

    

    Pero nosotros seguimos, en nuestras escuelas ...

    • Recetando la multiplicación como aceite de ricino

  • En vez de enseñar a ver y saber leer los números

    Observen, por favor, lo ridículo del asunto. RECETA: Primero se multiplica y luego se suma
    Imaginen la siguiente operación y léanla conmigo:
    $$ 17 · 6 - 9 = $$
    16 montones de 6 cosas, menos 9 cosas. Obviamente, quito un montón y luego le quito 3 a otro montón.
    $$ 17 · 6 - 9 = 16 · 6 - 3 = 15 · 6 + 6 - 3 = 15 · 6 + 3 = 90 + 3 = 93 $$
    No voy a hacer la estupidez de revolver todos los montones para quitar luego las nueve cosas ¿O voy a seguir la receta de la escuela?.
    Cuánto mejor enseñar a leer los números desde el principio y, sólo después, lo demás ... Los tiempos en que la mecánica de la multiplicación abrían la puerta de cualquier administración deberían haber pasado ya...

    Lee los números, "lee", y deja que las palabras cobren su sentido ...

    
    Aunque Geogebra no es la mejor herramienta para hacer cosas los dos siguientes enlaces, nos enseñará, y aprenderemos útiles para comprender mejor nuestra herramienta, la herramienta de la que van estas jornadas:

    • Multiplicando ...

    • Dividiendo ...

    "- Todo número entero se puede descomponer de un modo único en producto de factores primos"

    El Teorema del Loro. (Denis Guej - 2000)

Para qué quiere un alumno la escuela? ... Para qué quiere un profesor Geogebra?

• La revolución está aquí. Ya no necesito la escuela de ayer.

  Hace unos años, el maestro era la sabiduría, los libros escasos y, fundamentalmente, difícil de localizar en ellos lo que uno buscaba cuando se preguntaba algo nuevo. ¿Por dónde empezar?
  Aunque hay mucha gente que ya tenía algunas cosas claras desde hace mucho tiempo ...

  Ruche tenía presente el texto de un contemporáneo de al-Jawrizmi (siglo IX)[...]:
  "Los libros no resucitan a los muertos, no convierten a un idiota en un hombre razonable, ni a una persona estúpida en inteligente. Los libros agudizan el espíritu, lo despiertan, lo refinan y sacian su sed de conocimientos.
  "[...] gracias al libro aprendes en un mes lo que no aprenderías por la boca de expertos en una eternidad, y sin contraer ninguna deuda por el saber adquirido. El libro te libera, te ahorra el trato con gentes odiosas y relaciones con hombres estúpidos, incapaces de entender"

  El Teorema del Loro. (Denis Guej-2000)

  Hoy, la información está al alcance de la mano. No tengo que perderme buscando el libro adecuado. Ya no necesito el maestro para que me recite las cosas que yo tengo que copiar o subrayar...
  Para que me diga las recetas mágicas de los misterios de la vida.

  • No me cuentes recetas y recetas

    Tan triste como real ...
    Hace no muchos años, un compañero de instituto me hizo una pregunta que le preocupaba:
    En el tema que acaba de terminar había ¿explicado? a sus alumnos lo que era el grado de un monomio.
    Ahora, había cambiado de tema y resulta que el libro afirmaba que una ecuación de segundo grado era algo así: \[a x^2 + b x + c = 0\]
    Como algún alumno le preguntase, no sabía responder por qué, ya que, obviamente, eso era de grado tres: "1 - a y 2 - x , tres letras"
    

    • No quiero más que esto sea la esencia de mi educación

  • Enséñame conceptos y enséñame pensar

    Omar Jayam (siglo XI -XII) estuvo en el origen de la noción de polinomio.[...]
    Si escribo "\( a x^2 + b x + c = 0 \) " , es una ecuación de segundo gado. Bueno, si ahora escribo simplemente "\( a x^2 + b x + c \) ", ya no es una ecuación, es un polinomio. Un polinomio de segundo grado.
    [...]
    - Cada vez que decimos ecuación aparece la palabra igual. ¡Qué haríamos sin la igualdad! [...]
    - Pues bien, una ecuación es una igualdad entre dos expresiones, una de las cuales contiene, al menos, un incógnita. Debo confesaros que he necesitado ochenta años y pico para comprenderlo.

    El Teorema del Loro. (Denis Guej-2000)

    • Razonando para sacar conclusiones...

  • Cambia de una vez... para que el mundo cambie

    

    Audio en HTML5 ...
    

    
    Ahora si, parece que ya empiezo a entender
    Las cosas importantes aquí
    Son las que están detrás de la piel
    Y todo lo demás….
    empieza donde acaban mis pies
    después de mucho tiempo aprendí
    que hay cosas que mejor no aprender.
    
    El colegio poco me enseño…..si es por esos libros nunca aprendo

    Audio mediante plugin ...
    

• El bendito y maldito Miércoles 13 de Marzo de 2014

  ¿Cómo os decía un poco más arriba ...? ... Si esta charla hubiera sido una semana antes o una después...
  
  Pues llegó el 12 de Marzo y una alumna de 2º de la ESO me pidió ayuda sobre un ejercicio de un Seminario de problemas que hacemos en Logroño Taller de Creatividad Matemática similar al que se hace en otros muchos lugares, como aquí, en Zaragoza.
  
  Y lo que ello dió de sí ha sido maravilloso. Una maravilla de la que ahora os hago un resumen.
  Un problema que se puede modelar de manera muy simple como una suma de una progresión geométrica pero que, como mi alumna era de 2º de la ESO, no conocía. Así que, quedé que le daría pistas para que ella buscase otras formas de abordarlo.
  $$ \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + ... \, = \, \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{4^i} $$
  Pero he aquí que estábamos viendo "proporcionalidad numérica" y se me ocurrió que podía explicarle el ejercicio usando, precisamente, la proporcionalidad.
  
  El miércoles 13/III/2014 llegué a clase y planteé el problema para todos los alumnos de 2º de la ESO A. Salvo ella, ninguno más conocía el enunciado así que era totalmente nuevo. Les expliqué que llevaba el problema a clase y no en privado porque lo iba a solucionar usando lo que estábamos trabajando.
  
  ¿Por qué digo también maldito? Porque estamos en época de evaluaciones y un típico padre vino a quejarse del suspenso de su hija. En ningún momento se preocupó si su hija aprendía o no y si el suspenso era reflejo de ello sino en ... ¡Qué pena!
  En fin, volvamos a lo importante...
  
  Planteé el problema, hice un burdo dibujo en la pizarra y, cuando iba a empezar a explicarles "mi solución", se levantó la primera mano
  
  La historia es tan hermosa como larga de escribir así que, la prosa la explicaré de palabra (quien vea esta charla en Internet) se la perderá.
  
  La primera propuesta estaba ya flotando en el aire. La cogí al vuelo y, era tan fascinante, a pesar de ser ligeramente errónea, que no pude por menos de empezar a traducirla y explicarla para los demás.
  Otra mano se levantó cuando aún estábamos con lo anterior y otra, ... Hice de moderador-traductor y expliqué en la pizarra para los demás a medida que algunos me daban "su solución", en aquella misma clase.
  Pero, por la tarde, me faltó tiempo para plasmar con Geogebra sus soluciones. Era mi homenaje a aquella fantástica clase que ellos habían sugerido. El homenaje que les haría llevando su imaginación a esta charla una semana después y que aproveché para mostrárselas con colorines y el ordenadas el viernes 14/III/2014.
  Va por ellos y por la educación ...

  [...] Fue el aleman Karl Friederich Gauss, el príncipe de los matemáticos, quien, finalmente, dio la primera demostración completa. Y, además, no contento con dar una, dio otras tres. Prueba suficiente de la necesaria distinción entre el enunciado de un teorema y su demostración.

  El Teorema del Loro. (Denis Guej-2000)
  Hablando sobre el Teorema fundamental del álgebra

  • César Lobato López (2º ESO-A) ... Un número periódico puro

    Su idea fue, traducir la suma infinita en un número periódico puro y, por tanto, en una fracción.
    Erróneamente calculó ... $$\frac{1}{4} = 0,25 \, , \, \frac{1}{4^2} = 0,0025 \, , \, \frac{1}{4^3} = 0,000025 $$
    
    Le hice notar el error pero, tirando del hilo se nos cocurrieron muchas cosas y, al día siguiente, les conté:

    • Numeración y Base4

  • Claudia Garoé Fdez. García (2º ESO-A) ... Visión geométrica-I

    
    Su planteamiento fue ingenioso y muy elaborado lo que tiene muchísimo mérito.
    La primera intuición le llevó a pasar por un estado intermedio en el que hablamos de "acotar un problema", pero su insistencia nos llevó a seguir con su proceso y a lograr dar con la solución
    

    • El tesón de acotar y, seguir ... hasta dar con el valor final

  • Carlos Mendaza Chavarri (2º ESO-A) ... Visión geométrica-II

    
    Las sinergias de la clase hicieron que Carlos diese su opinión: "Yo lo veo de otra manera".
    Cuando nos contó como lo veía le dije que era una visión más difícil de formalizar pero, todo quedó aclarado con un poco de tesón y paciencia.
    

    • Dividir algo en partes iguales es dividir en partes iguales cada uno de los trozos que lo componen

  • Pedro Lanchares Sánchez (2º ESO-A) ... Visión geométrica-III

    
    Cuando ya la clase termianba y todos nos íbamos, Pedro no se fué sin reterme y darme su visión de la jugada.
    Fatástica y, probablemente, la más simple de las vistas hasta ese momento.
    

    • La brillanted de la simplicidad

  • Solución usando la proporcionalidad

    Como les hice notar, cuando les di mi solución, me sentía verdaderament ridículo porque la belleza de las suyas eran muy superior a la mía. Sólo tenía el don de la oportunidad.
    ¡Pero no me importaba nada. Era el profesor más feliz del Universo gracias a mis alumnos!

    • La oportunidad de usar lo que teníamos delante

• Pensando en Geometría clásica (Grecia)) ... y en lo que el tiempo nos depararía (Análisis)

  Los matemáticos griegos rehusaron conformarse con las pruebas materiales y exigieron algo más: la demostración.
  [...] Fueron ellos quienes la inventaron

  El Teorema del Loro. (Denis Guej-2000)

  • ¿Por qué no sabemos lo que es π y otras cosas elementales?

    ¿Qué es π? preguntó el profesor a sus alumnos.
    La sorpresa ante la respuesta sería mayúscula porque cuando los alumnos tienen su primer contacto con π no pasa de ser un símbolo raro que todo el muno ha visto, asociado con un valor muy peculiar: π = 3,1416.
    Para ver lo que es π en cualquier escuela del mundo, sólo se necesita una cacerola, una papelera, un vaso, ...
    ¿Por qué π sigue siendo 3'14 para casi todos y, a la vez, todos creen conocerlo?

    • Mira lo que es π , aunque Geogebra no sea lo más idóneo

  • Lo más difícil todavía...: "Cuadrar el círculo"

    El hecho de que π aparezca también en el área del círculo es una verdadera coincidencia.
    Pero el que los ciudadanos del mundo confundan la velocidad \( 2 \pi r \) ,con el tocino \( \pi r^2 \) , es un efecto secundario de la manera de aprender en la escuela.

    • Con lo fácil que es enseñar con sentido común

    
    Aunque, cuando lo vemos con el genio de Arquímedes, la verdad es que la coincidencia parece de lo más natural. ¡Lo que hace un genio!
    Arquímedes fue capaz de cuadrar el círculo, aunque no con la pureza de la geometría, no usando sólo regla y compás.

    Eran medios inferiores a la ley geométrica en vigor. Esas construcciones tenían una tara excluyente: hacían intervenir el movimeinto y la velocidad. ¡Puntos que se mueven! Muchos fenómenos proscritos. El mundo oficial de la geometría griega era un mundo estático

    El Teorema del Loro. (Denis Guej-2000)

    • π en el área del círculo, bajo en genio de Arquímedes

  • Otras cuadraturas vistosas

    Usando la pureza de la geometría porque es un procedimiento de regla y compás, aunque el dinamismo de Geogebra parece que lo convierte en "no puro".

    • Cuadrando cuadrados

    Por otros métodos impuros, incluso heréticos como los indivisibles, que sólo imaginaciones deslumbrantes podían ver en el pasao y que con la ayuda de Geogebra se hacen accesibles a casi todo el mundo.

    "Todos los del siglo XVII, cuando se pusieron a mirar una superficie, la vieron no como un todo completo, sino compuesto de pequeñas franjas que, puestas una al lado de otra, la llenaban completamente"

    "[...]Junto a la geometría y el álgebra, que figuraban como respetables ancianas, surgió el joven Análisis, nuevo dominio [...] paradigma de todas las hermosuras. Se le llamó Análisis sublime"

    El Teorema del Loro. (Denis Guej - 2000)

    • Cuadrando la cicloide

• De conejos y chocolate, espirales y halcones , filotaxis y girasoles ...

  • Los conejos y el chocolate infinito

    Leonardo de Pisa (s. XIII), "hijo de Bonaccio" (filius Bonacci - > Fibonacci), se hizo célebre por escribir el primer gran libro de matemáticas en Occidente, Liber abaci, el libro del ábaco[...]
    En las páginas de su libro, los cristianos descubrieron el cero [...] y bastantes cosas más. Por ejemplo, sobre conejos.

    El Teorema del Loro. (Denis Guej-2000)

    Y precisamente la famosa sucesión de los conejos o de Fibonacci:
    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
    cumple una curiosa propiedad que hizo famoso hace no muchos meses, esta vez unido al WhatsApp y las nuevas tecnologías, el puzle del chocolate. Probablemente muchos de vosotros hayáis sufrido el bombardeo correspondiente:

    Vídeo en HTML5 ...
    

    • Puzzle de Fibonacci

      Posibilidad de Barra de navegación para ir construyendo los que buscamos.

  • Espirales y halcones

    Espiral de Fibonacci, Espiral de Durero, ...

    "¿No te recuerda nada? ¡La espiral logarítmica! Una de las invenciones de Jacques Bernoulli; estaba tan orgulloso de ella que pidió que la grabaran sobre su tumba con esta frase : 'Eadem mutata resurgo': resurjo convertida en mí misma"

    El Teorema del Loro. (Denis Guej - 2000)

    • Dando vueltas hacia la presa

  • Filotaxis y Girasoles

    Y hasta los girasoles se empeñan en rizar el rizo con la colocación de sus pipas.

    • Girasol

• Pensando en Geometría analítica ... Presentando a monsieur Descartes

  En un principio, antes de que se cruzase en mi camino la consulta de mi alumno sobre el Teorema del Loro, y mucho antes del mágico 13 de Marzo, había pensado hablar mucho más de Geometría analítica
  Antes también de estos acontecimientos me comunicaron que, a pesar de que la mayor parte de asistentes a estas jornadas eran profesores de Secundaria, había también dPrimaria. Así que tenía claro que lo que aquí fuese a contar no debía tener de forma explícita mas que matemáticas o razonamientos para todos.
  Descartes es conocido por la mayoría de la gente como Filósofo y pocos lo relacionan con las matemáticas. Mucho menos aún con las coordenadas Cartesianas. Así que quería presentarlo en esta charla.

  "El principio de la Geometría analítica se encierra en una frase: la ecuación de una curva permite conocer todas las propiedades de la curva. Este descubrimiento, hecho con algunos años de Diferencia por ' πR Fermat y René Descartes", independientemente el uno del otro, se llamó la geometría de las coordenadas"

  El Teorema del Loro. (Denis Guej - 2000)

  
  Geoebra es un exponente claro del milagro que Descartes introduce en la matemática en el siglo XVII, la unión del Álgebra y la Geometría a través de las coordenadas

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  Algunas cosas que sólo algunos saben ...

  • Si jugamos a dibujar las soluciones de una ecuación de grado uno con dos incógnitas (x , y) sobre unos ejes coordenados, el fantástico resultado que obtenemos es que, todas esas marcas están alineadas. Forman una recta.(Esto lo sabe mucha gente y, por supuesto, Geogebra también)
  • Si jugamos a dibujar las soluciones de una ecuación de grado dos con dos incógnitas (x , y) sobre unos ejes coordenados, el fantástico resultado puede ser diverso pero no tanto como parece en un principio. De hecho, siempre obtendremos una cónica. (Esto NO lo sabe mucha gente pero, por supuesto, Geogebra sí).
  • No tantos como creen saben lo que es una ecuación de segundo grado con dos incógnitas, ¿verdad?: $$ x y = 1 $$

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  • ¿Por qué nunca me lo contaron y sólo fueron fórmulas?

    ¿Por qué nunca me explicaron esto en la escuela? ¿Porque es de Dibujo? ¿Porque es de Matemáticas? ¿Porque ...?

    "Los griegos hicieron de las matemáticas una ciencia geométrica. En el siglo XVII se convirtieron en una ciencia algebraica. Descartes instaló, en el trono aún caliente de la geometría, al álgebra triunfante"

    El Teorema del Loro. (Denis Guej - 2000)

    
    Si queremos dibujar o fabricar una elipse veremos que tenemos un problema con los métodos clásicos de regla y compás, los más cómodos y los que es fácil ejecutar.
    Pero un óvalo es una curva con dos ejes de simetría. construida mediante 4 arcos de circunferencia. Fácil de fabricar o dibujar pero que, además, tan sólo un ojo experto es capaz de diferenciar de una Elipse si somos capaces de dibujar el llamado "óvalo óptimo".
    En nuestro caso vamos a suponer dados los dos semiejes, de la Elipse y del Óvalo óptimo y vamos a ver quién lo distingue.

    • Elipses y óvalos

  • Así todo es más sencillo

    ¿Sólo fórmulas y más fórmulas de memoria?

    "Para Descartes el álgebra no era una ciencia, era un método. Un método universal. Ruche recordó que método viene del griego meta-odos. ¡Odos significa camino! El método es un camino que conduce a la meta, si se sigue."

    El Teorema del Loro. (Denis Guej - 2000)

    • Lugar Geométrico

• Geogebra:matemáticas, sintaxis, polimorfismo y polisemia, ... Una clase fantástica

  Para terminar esta charla, voy a dar unas pinceladas de algo que, no es tan espectacular como imágenes moviéndosen y colores iluminando nuestros ojos.
  Es algo tan hermoso pero mucho menos llamativo para el común de los mortales porque afecta a conceptos de fondo ... Hay que hablar de leer y pensar lo que se lee ... Hay que hablar de ponerse en la piel de quién pensó y razonó.
  Tiene mucho que ver con Gramática, con sintaxis, con semántica ... Por supuesto con Gramáticas o lenguajes formales. Esas coss que los de ciencias suelen decir que no sirven para nada o que, en el mejor de los casos no sabemos transmitir a nuestros alumnos que son básicas hoy en día.
  Aunque de lo que yo quiero hablar es complejo porque no encuentro interlocutores. Los de letras, si por casualidad me escuchan, me remiten a Noam Chomsky y así escurren el bulto y quedan bien.
  Como no sé cuanto tiempo me dará para sacer el tema, y como es un asunto un poco largo de escribir, siento dejar a quien leea esta charla desde Internet, en el más absoluto de los vacíos salvo, tal vez, por dos imágenes y unos simples comentarios.

  • Jorge, ¿qué significa curva implícita?, me preguntó un alumno de 1º de Bachillerato justo cuando estaba intentando contarles algo de esto
    • ¿Curva Implícita?
    • ¿Cónica?
    • ¿Función?
    • ¿Recta?
  • Lo interesante y fundamental que los alumnos se acostumbre a usar programas cualesquiera de Matemáticas para que mejoren su poeratoria y su reflexión sobre las expresiones matemáticas.
    Yo tengo delante: $$ \frac{x-5}{6} - \frac{y-5}{2} = -3 $$
    Tengo que teclear en Geogebra: $$ (x-5)/6 - (y-5)/2 = -3 $$
    Y Geogebra me muestra: $$ 0.17x - 0.5y = -6.3 $$
  • ¿Por qué no se pueden usar otras letras como incógnitas si da lo mismo?, me preguntó una alumna de 2º de ESO cuando estaba intentando contarles algo de esto y después de que le hubiese quedado claro que el fondo no son las "x" y las "y".
    Y, uno añora cuando los mensajes de error de Geogebra daban un información mucho más interesante para estas tareas didácticas que los de ahora.

    Geogebra 4.0.41.0 (21 Septiembre de 2012)	Geogebra 4.4.20.0 (17 Marzo de 2014)

Epílogo

• Reflexiones: ¿Esto sirve para algo?

  No me cabe la menor duda que Geogebra tienen una gran utilidad para hacer comprender ..., para hacer ver ...., para construir materiales didácticos, ...No, no es la herramienta universal pero es una buena herramienta.

  Sin embargo, después de reflexionar mucho sobre qué debería ser la Enseñanza Primaria y Secundaria, después de haber soñado y haberme despertado, me da la impresión de que las cosas en la Educación cambian demasiado lentamente.

  El mundo avanza de manera vertiginosa y ningún tiempo pasado fue mejor aunque, desde luego, la escuela no es el exponente del cambio. Eso, sin duda.

  Nosotros, el colectivo de profesores, no nos movemos con demasiada energía para agarrar y exprimir las posibilidades que cosas como Geogebra ponen a nuestro alcance.

  Nosotros no estamos en la cresta de la ola o, al menos, cerca de ella. Permanecemos mucho más próximo a un mundo bastante obsoleto.

  ... Aunque estoy seguro que mis alumnos que ven las matemáticas "de otra manera", como ellos mismos afirman, tampoco van a cumplir mejor los objetivos de:

  • Aprobar exámenes.
  • Hacer mejor la PAU.
  • Estar más preparados para lo que les van a pedir en el primer curso de su facultad.
  • ...

  ... ni como a mí me gustaría, tampoco destacarán en:

  • Beneficiarse de la cultura matemática y actuar, lo mejor posible, en este mundo real que es su mundo.
  • Pensar matemáticamente, saber argumentar, saber representar y comunicar, saber resolver, saber usar técnicas matemáticas e instrumentos y saber modelizar.
  • ...

  O tal vez algunos sí, y por ello no puedo dejar de sentirme satisfecho. Yo intento hacer lo que puedo porque la educación cambie en la línea que a mí me gustaría.

• Agradecimientos

  1. A Pitágoras, Tales, Arquímedes, Omar Jayam, Descartes, ... y todos esos hombres que tanto admiro. Por supuesto que, también a Denis Guej por lo que he disfrutado con sus libros y su pasión por enseñar(aunque también haya muerto)
  2. A los organizadores de este día de Geogebra: por darme la oportunidad de exponer algunas de las ideas y materiales con los que cada día trabajo.
  3. A todos los que habéis asistido, por estar ahí: espero que, de alguna manera, lo que aquí he presentado os resulte de utilidad o como excusa de reflexión.

La charla a tu alcance